Векторы
Векторы — бесплатная интерактивная симуляция из StudyFi Lab. Работает прямо в браузере, без регистрации и установки.
Складывай, масштабируй и перемножай векторы в 2D и 3D
Эксперименты
Основы
У вектора есть длина и направление. Его записывают координатами a = (a₁; a₂; a₃) или через единичные векторы осей: a = a₁i + a₂j + a₃k. Длину находят по теореме Пифагора: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), а единичный вектор â = a / |a| сохраняет направление и имеет длину 1. Вектор из точки A в точку B равен разности B − A.
Попробуй: Перетащи конец вектора в (3; 4) и проверь, что |a| = 5. Затем включи «По двум точкам» и сдвинь обе точки на одно и то же: вектор не изменится.
Сложение векторов
Векторы складывают покоординатно: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). На рисунке b переносят в конец a (правило треугольника) или строят на двух векторах параллелограмм, и сумма — его диагональ. Разность a − b — это сумма a + (−b), то есть вектор из конца b в конец a.
Попробуй: Нажми «Перенести b в конец a» и посмотри, как получается треугольник. Затем переключись на параллелограмм и задай b = −a: сумма станет нулевым вектором.
Умножение на число
Вектор k·a получается умножением каждой координаты на k, поэтому он лежит на той же прямой, что и a: векторы коллинеарны. Длина становится |k|·|a|. При k > 0 направление сохраняется, при k < 0 меняется на противоположное, а k = 0 даёт нулевой вектор.
Попробуй: Измени k с 2 на −2 и посмотри, как стрелка переворачивается через начало координат, а её длина не меняется.
Скалярное произведение
Скалярное произведение — это число: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Оно положительно при остром угле между векторами, равно нулю при прямом и отрицательно при тупом, поэтому a·b = 0 означает перпендикулярность. Проекция b на направление a имеет длину a·b / |a|.
Попробуй: Задай a = (4; 1) и найди b, для которого a·b = 0. Получится (−1; 4)? Сначала всегда угадай знак.
Векторное произведение
Векторное произведение a × b — вектор, перпендикулярный и a, и b. Его направление задаёт правило правой руки, а длина |a × b| = |a|·|b|·sin φ равна площади параллелограмма, построенного на a и b. Для параллельных векторов оно равно нулю, а при перестановке множителей меняет знак: b × a = −(a × b).
Попробуй: Задай a = (3; 0; 0) и b = (0; 2; 0): a × b направлен вдоль оси z и имеет длину 6, как площадь прямоугольника 3 × 2. Затем наклони b к a и посмотри, как площадь уменьшается.
Смешанное произведение
Смешанное произведение (a × b)·c — число, равное определителю из координат a, b и c. Его модуль равен объёму параллелепипеда, построенного на трёх векторах. Если оно равно нулю, параллелепипед плоский: все три вектора лежат в одной плоскости (компланарны).
Попробуй: Задай c = a − b, то есть c = (3; −1; −1) для начальных a и b: объём падает до нуля. Затем увеличь c₃ и посмотри, как тело «раздувается».
Частые вопросы
Что такое «Векторы»?
Векторы — бесплатная интерактивная симуляция из StudyFi Lab. Работает прямо в браузере, без регистрации и установки. Складывай, масштабируй и перемножай векторы в 2D и 3D
Приложение «Векторы» бесплатное?
Да. Приложение «Векторы» полностью бесплатное. Оно работает в браузере на компьютере, планшете и телефоне, аккаунт не нужен.
Что можно изучить в приложении «Векторы»?
Основы, Сложение векторов, Умножение на число, Скалярное произведение, Векторное произведение, Смешанное произведение.
Что показывает эксперимент «Основы»?
У вектора есть длина и направление. Его записывают координатами a = (a₁; a₂; a₃) или через единичные векторы осей: a = a₁i + a₂j + a₃k. Длину находят по теореме Пифагора: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), а единичный вектор â = a / |a| сохраняет направление и имеет длину 1. Вектор из точки A в точку B равен разности B − A.
Что показывает эксперимент «Сложение векторов»?
Векторы складывают покоординатно: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). На рисунке b переносят в конец a (правило треугольника) или строят на двух векторах параллелограмм, и сумма — его диагональ. Разность a − b — это сумма a + (−b), то есть вектор из конца b в конец a.
Готовишься к контрольной?
Загрузи свои конспекты, и StudyFi превратит их в карточки, тесты и подкасты.