Grundlagen der Statistik: Diskrete Verteilungen

Willkommen zu den Grundlagen der Statistik: Diskrete Verteilungen! In diesem Artikel tauchen wir tief in die Welt der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein, die ein Fundament für das Verständnis vieler statistischer Konzepte bilden. Wir werden uns ansehen, wie Wahrscheinlichkeiten definiert werden, welche Rolle die Kombinatorik spielt und wie verschiedene diskrete Verteilungen funktionieren, darunter die Gleichverteilung, die hypergeometrische Verteilung und die Binomialverteilung.

Egal, ob du Student bist und für Prüfungen lernst oder einfach dein Wissen auffrischen möchtest – hier findest du eine umfassende und verständliche Erklärung dieser wichtigen Themen.

Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace

Bevor wir uns den Verteilungen widmen, rekapitulieren wir die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace bietet einen intuitiven Ansatz, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen.

Nach dieser Definition gilt:

• Ein Ereignis $A$ umfasst $|A|$ Elementarereignisse.
• Der Ereignisraum $S$ (alle möglichen Ergebnisse) umfasst $|S|$ Elementarereignisse.
• Unter der Annahme, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit $W(A)$ wie folgt:

$$W(A) = \frac{|A|}{|S|}$$

Ein einfaches Beispiel ist das Würfeln einer 4. Hier ist $A = {e_4}$, also $|A|=1$. Der Ereignisraum $S = {e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6}$, also $|S|=6$. Die Wahrscheinlichkeit ist $W(A) = 1/6$.

Kombinatorik: Zählen von Möglichkeiten in der Statistik

Die Kombinatorik ist ein entscheidendes Werkzeug in der Statistik, besonders wenn es darum geht, die Anzahlen von Elementarereignissen zu bestimmen. Hier unterscheiden wir verschiedene Fälle.

Permutationen: Anordnungen von Elementen

Eine Permutation beschreibt die möglichen Anordnungen von $N$ voneinander verschiedenen Elementen $e_1, \ldots, e_N$. Die Anzahl der Permutationen wird durch die Fakultät $N!$ (N-Fakultät) gegeben:

$$N \cdot (N - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = N!$$

Beispiel: Für 3 Elemente ($3! = 6$) gibt es 6 Anordnungsmöglichkeiten, wie die Tabelle zeigt:

Fallunterscheidungen bei Kombinationen

Die Kombinatorik unterscheidet, ob Elemente mit oder ohne Wiederholung gezogen werden und ob die Anordnung eine Rolle spielt. Gegeben sind $N$ Elemente, von denen $n$ angeordnet oder ausgewählt werden.

Diese Formeln sind grundlegend, um die Größen von Ereignisräumen und die Anzahlen günstiger Ereignisse zu bestimmen.

Diskrete Verteilungen: Darstellung und Eigenschaften

Diskrete Verteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeiten von diskreten Zufallsvariablen. Eine diskrete Zufallsvariable $X$ weist diskrete, abzählbare Werte auf. Wir betrachten wichtige Beispiele.

Die diskrete Gleichverteilung verstehen

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ folgt einer diskreten Gleichverteilung mit $k$ unterschiedlichen Ausprägungen, wenn jede Ausprägung die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist:

$$f(x/k) = \begin{cases} \dfrac{1}{k} & \text{für } x \in {x_1, \ldots, x_k} \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$

Eigenschaften der Gleichverteilung:

• Parameter: $k \in \mathbb{N}$ (Anzahl der Ausprägungen).
• Wertebereich: $x \in {x_1, \ldots, x_k}$ mit $x_k \in \mathbb{R}$.
• Verteilungsfunktion: $F(x/k) = \sum_{x_k \leqslant x} \dfrac{1}{k} = \dfrac{|{k : x_k \leqslant x}|}{k}$.

Beispiele für Gleichverteilung:

• Augenzahl beim Werfen eines Würfels ($k=6$).
• Münzwurf ($k=2$).
• Rouletterad ($k=37$).

Erwartungswert und Varianz der Gleichverteilung

Der Erwartungswert und die Varianz sind wichtige Kenngrößen einer Verteilung.

• Erwartungswert:

$$\operatorname{E}(X) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_{i}$$

• Varianz:

$$\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 - \left(\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i\right)^2$$

Die Hypergeometrische Verteilung in der Praxis

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Stichprobe zu erzielen, die ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen wird. Dies ist relevant, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten mit jeder Ziehung ändern.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$$f_{\mathrm{H}}(x/N; n; M) = \begin{cases} \dfrac{\binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} & \text{für } x \in {0,1,\ldots,n} \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$

Parameter und Eigenschaften:

• Parameter: $N$ (Gesamtzahl der Elemente), $M$ (Anzahl der Elemente mit der gesuchten Eigenschaft), $n$ (Größe der Stichprobe), wobei $N \geqslant n$ und $N \geqslant M$.
• Wertebereich: $x \in {0,1,\ldots,n}$.
• Verteilungsfunktion: $F_{\mathrm{H}}(x/N; n; M) = \sum_{v \leqslant x} \dfrac{\binom{M}{v} \cdot \binom{N-M}{n-v}}{\binom{N}{n}}$ mit $v \in \mathbb{N}_0$.

Beispiel für Hypergeometrische Verteilung:

Stell dir vor, du hast 6 Kapitalanlagemöglichkeiten. Zwei davon sind verlustreich. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Investition in 4 Möglichkeiten genau eine verlustreich ist?

• $N=6$ (Gesamtzahl der Anlagen)
• $M=2$ (Anzahl der verlustreichen Anlagen)
• $n=4$ (Anzahl der ausgewählten Anlagen)
• $x=1$ (Anzahl der gewünschten verlustreichen Anlagen)

Anzahl aller möglichen Kombinationen: $|S| = \binom{6}{4} = 15$. Anzahl der Möglichkeiten, 1 verlustreiche Anlage zu wählen: $\binom{2}{1} = 2$. Anzahl der Möglichkeiten, 3 gute Anlagen aus den restlichen 4 zu wählen: $\binom{6-2}{4-1} = \binom{4}{3} = 4$. Anzahl der günstigen Ereignisse: $|A| = \binom{2}{1} \cdot \binom{4}{3} = 2 \cdot 4 = 8$. Die Wahrscheinlichkeit ist $W(A) = \frac{8}{15} \approx 0,53$.

Erwartungswert und Varianz der Hypergeometrischen Verteilung

• Erwartungswert:

$$\operatorname{E}(X) = n \cdot \frac{M}{N}$$

• Varianz:

$$\operatorname{Var}(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}$$

Die Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, bei denen jedes Ergebnis nur zwei mögliche Ausgänge hat (Erfolg oder Misserfolg) und die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich bleibt. Dies sind sogenannte Bernoulli-Experimente.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$$f_{\mathrm{B}}(x/n;\theta) = \begin{cases} \binom{n}{x} \cdot \theta^{x} \cdot (1 - \theta)^{n - x} & \text{für } x \in {0,1,\ldots,n} \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$

Parameter und Eigenschaften:

• Parameter: $n$ (Anzahl der Versuche), $\theta$ (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch), wobei $n \in \mathbb{N}$ und $\theta \in [0,1]$.
• Wertebereich: $x \in {0,1,\ldots,n}$.
• Verteilungsfunktion: $F_{\mathrm{B}}(x/n;\theta) = \sum_{v \leqslant x} \binom{n}{v} \cdot \theta^{v} \cdot (1 - \theta)^{n - v}$ mit $v \in \mathbb{N}_{0}$.

Beispiel für Binomialverteilung:

Ein Aktienkurs steigt mit 60% Wahrscheinlichkeit oder fällt entsprechend. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs nach 3 Zeitpunkten genau zweimal gestiegen ist?

• $n=3$ (Anzahl der Zeitpunkte/Versuche)
• $\theta=0,6$ (Wahrscheinlichkeit zu steigen)
• $x=2$ (Anzahl der gewünschten Anstiege)

Es gibt $\binom{3}{2} = 3$ Möglichkeiten für 2 Anstiege (z.B. Steigen-Steigen-Fallen, Steigen-Fallen-Steigen, Fallen-Steigen-Steigen). Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Möglichkeiten ist $0,6^2 \cdot (1-0,6)^1 = 0,6^2 \cdot 0,4^1 = 0,36 \cdot 0,4 = 0,144$. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann $\binom{3}{2} \cdot 0,4 \cdot 0,6^2 = 3 \cdot 0,144 = 0,432$.

Dieses Beispiel demonstriert die Berechnung mittels eines Baumdiagramms, bei dem jede Pfadwahrscheinlichkeit multipliziert und dann die Wahrscheinlichkeiten für alle günstigen Pfade addiert werden.

Ein weiteres Beispiel ist das Ziehen mit Zurücklegen. Urnenmodell mit 10 Kugeln, davon 4 rot ($\theta = 0,4$). Ziehung von $n=5$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kugeln rot sind, ist $f_{\mathrm{B}}(2/5; 0,4) = \binom{5}{2} \cdot 0,4^2 \cdot 0,6^3 = 0,3456$.

Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung

• Erwartungswert:

$$\operatorname{E}(X) = n \cdot \theta$$

• Varianz:

$$\operatorname{Var}(X) = n \cdot \theta \cdot (1 - \theta)$$

Visualisierung der Binomialverteilung

Grafische Darstellungen helfen, die Form der Binomialverteilung zu verstehen. Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion mit $n = 15$ und $\theta = 0,25$ zeigt beispielsweise, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die verschiedenen Anzahlen von Erfolgen verteilen. Die Verteilungsfunktion zeigt kumulativ die Wahrscheinlichkeit, bis zu einem bestimmten Wert $x$ Erfolge zu erzielen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ) zu diskreten Verteilungen

Was ist der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen?

Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Zug konstant, da die gezogenen Elemente in die Grundgesamtheit zurückgeführt werden. Dies ist charakteristisch für die Binomialverteilung. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, da die gezogenen Elemente nicht zurückgeführt werden. Hier kommt die hypergeometrische Verteilung zum Einsatz.

Wann verwende ich die Laplace-Definition und wann eine diskrete Verteilung?

Die Laplace-Definition wird verwendet, wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Sie ist eine grundlegende Methode zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Diskrete Verteilungen wie die Gleichverteilung, hypergeometrische oder Binomialverteilung sind spezifischere Modelle, die unter bestimmten Annahmen und für bestimmte Szenarien die Wahrscheinlichkeiten für eine Zufallsvariable beschreiben, die diskrete Werte annehmen kann. Sie sind nützlich, wenn die zugrunde liegenden Ereignisse nicht unbedingt gleich wahrscheinlich sind oder wenn wir eine Reihe von Wiederholungen betrachten.

Was bedeuten Erwartungswert und Varianz bei diskreten Verteilungen?

Der Erwartungswert (E(X)) einer diskreten Verteilung gibt den durchschnittlichen Wert an, den die Zufallsvariable bei vielen Wiederholungen des Experiments annehmen würde. Er ist ein Maß für die zentrale Tendenz der Verteilung. Die Varianz (Var(X)) misst die Streuung oder die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen vom Erwartungswert. Eine hohe Varianz bedeutet eine breitere Streuung der möglichen Ergebnisse, während eine niedrige Varianz bedeutet, dass die Ergebnisse näher am Erwartungswert liegen. Sie sind essenziell, um die Eigenschaften einer Verteilung vollständig zu charakterisieren.