Willkommen zu deinem umfassenden Guide über diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen! Dieses Thema ist ein Kernbestandteil der Statistik und Ökonometrie und entscheidend für das Verständnis vieler realer Phänomene. Wir werden die Grundlagen, wichtige Definitionen und die bekanntesten Verteilungen detailliert betrachten. Tauche ein in die Welt der diskreten Wahrscheinlichkeitsmodelle, um Ereignisse besser vorhersagen und analysieren zu können.

Was sind diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von diskreten Ereignissen. Ein diskretes Ereignis ist ein Ereignis, das eine abzählbare Anzahl von Ergebnissen hat, wie zum Beispiel die Anzahl der Würfelaugen oder die Anzahl der Erfolge in einer Reihe von Experimenten.

Bevor wir uns den einzelnen Verteilungen widmen, ist es wichtig, einige grundlegende Konzepte zu wiederholen, die das Fundament bilden.

Die Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (nach Laplace)

Die Laplace-Definition ist ein fundamentaler Ansatz zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, besonders wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Sie besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ wie folgt berechnet wird:

$$W(A) = \frac{|A|}{|S|}$$

Hierbei steht $|A|$ für die Anzahl der Elementarereignisse, die zu Ereignis $A$ gehören. $|S|$ repräsentiert die Gesamtzahl der Elementarereignisse im Ereignisraum.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, wenn man einen fairen sechsseitigen Würfel wirft. Das Ereignis $A = {e_4}$ hat $|A|=1$ Elementarereignis. Der Ereignisraum $S = {e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6}$ hat $|S|=6$ Elementarereignisse. Somit ist $W(A) = 1/6$.

Grundlagen der Kombinatorik für diskrete Verteilungen

Die Kombinatorik spielt eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung von $|A|$ und $|S|$. Sie hilft uns, die Anzahl der möglichen Anordnungen oder Kombinationen von Elementen zu zählen. Diese Kenntnisse sind unerlässlich, um komplexe Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Permutationen: Anordnungen von Elementen

Eine Permutation beschreibt die möglichen Anordnungen von $N$ voneinander verschiedenen Elementen $e_1, \ldots, e_N$. Die Anzahl der Permutationen wird durch die Fakultät $N!$ angegeben:

$$N \cdot (N - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = N!$$

Beispiel: Für 3 Elemente gibt es $3! = 6$ mögliche Anordnungen:

$e_1, e_2, e_3$
$e_1, e_3, e_2$
$e_2, e_1, e_3$
$e_2, e_3, e_1$
$e_3, e_2, e_1$
$e_3, e_1, e_2$

Fallunterscheidungen bei Kombinationen

Bei Kombinationen müssen wir unterscheiden, ob Wiederholungen erlaubt sind und ob die Anordnung eine Rolle spielt. Hier ist eine Übersicht, wie man $n$ Elemente aus $N$ Elementen auswählt:

	Mit Anordnung	Ohne Anordnung
Ohne Wiederholung	$\frac{N!}{(N-n)!}$	$\binom{N}{n}$
Mit Wiederholung	$N^n$	$\binom{N+n-1}{n}$

Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Nun betrachten wir die spezifischen diskreten Verteilungen, ihre Eigenschaften, Formeln und Anwendungsbeispiele. Jede dieser Verteilungen hilft uns, unterschiedliche Arten von Zufallsexperimenten zu modellieren.

Die Diskrete Gleichverteilung einfach erklärt

Eine Zufallsvariable $X$ folgt einer diskreten Gleichverteilung, wenn alle $k$ möglichen Ausprägungen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist dabei:

$$f(x/k) = \begin{cases} \frac{1}{k} & \text{für } x \in {x_1, \ldots, x_k} \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$

Eigenschaften:

Parameter: $k \in \mathbb{N}$ (Anzahl der Ausprägungen)
Wertebereich: $x \in {x_1, \ldots, x_k}$
Verteilungsfunktion: $F(x/k) = \sum_{x_k \leqslant x} \frac{1}{k} = \frac{|{k : x_k \leqslant x}|}{k}$

Beispiele für Gleichverteilung:

Die Augenzahl beim Werfen eines Würfels ($k=6$).
Das Ergebnis eines Münzwurfs ($k=2$).
Die Auswahl einer Zahl beim Roulette ($k=37$).
Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Lotto-Ergebnisses ($k = \binom{49}{6} \approx 14$ Mio.).

Erwartungswert und Varianz der Gleichverteilung

Erwartungswert (E(X)): $E(X) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i$
Varianz (Var(X)): $Var(X) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 - \left(\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i\right)^2$

Die Hypergeometrische Verteilung verstehen

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Stichprobe zu erzielen, wenn diese Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen wird. Dies ist relevant, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten bei jeder Ziehung ändern.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$$f_{\mathrm{H}}(x/N; n; M) = \begin{cases} \frac{\binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} & \text{für } x \in {0,1,\ldots,n} \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$