Willkommen zu unserem umfassenden Leitfaden über Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Approximationen! Dieses Thema ist ein Eckpfeiler der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und für Studierende in vielen Fachbereichen von großer Bedeutung. Wir werden die Grundlagen verschiedener diskreter Verteilungen beleuchten und zeigen, wie sie sich unter bestimmten Bedingungen einander annähern können. Unser Ziel ist es, dir ein tiefes Verständnis dieser Konzepte zu vermitteln, damit du sie sicher anwenden kannst.
Was sind Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen?
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, deren Ergebnisse zählbar sind. Das bedeutet, die Zufallsvariable kann nur eine endliche Anzahl oder eine abzählbar unendliche Anzahl von Werten annehmen. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf die Poisson- und Multinomialverteilung und ihre Beziehung zur Binomial- und Hypergeometrischen Verteilung.
Die Poissonverteilung verstehen: Definition und Eigenschaften
Die Poissonverteilung ist eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie modelliert die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen, die in einem festen Zeitintervall oder Raumabschnitt auftreten, wenn diese Ereignisse unabhängig voneinander und mit einer bekannten konstanten Rate eintreten. Es gibt dabei keine obere Schranke für die Anzahl der Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung ist definiert als:
$$f_{\mathrm{P}}(x / \mu) = \begin{cases} \dfrac{\mu^x}{x!} e^{-\mu} &\quad \text{für } x \in {0, 1, 2, \ldots} \ 0 &\quad \text{sonst} \end{cases}$$
Wichtige Eigenschaften der Poissonverteilung:
- Parameter: Der einzige Parameter ist $\mu$, der Erwartungswert, wobei $\mu \in \mathbb{R}_{+}$.
- Wertebereich: Die Zufallsvariable $X$ kann Werte $x \in \mathbb{N}_0$ (nicht-negative ganze Zahlen) annehmen.
- Verteilungsfunktion: Die kumulative Wahrscheinlichkeit, dass $X$ höchstens $x$ Ereignisse annimmt, ist gegeben durch: $$ F_{\mathrm{P}}(x / n; \theta) = \sum_{v \leqslant x} \frac{\mu^v}{v!} e^{-\mu} \text{ mit } v \in \mathbb{N}_0 $$
Erwartungswert und Varianz der Poissonverteilung
Ein bemerkenswertes Merkmal der Poissonverteilung ist die Gleichheit von Erwartungswert und Varianz:
- Erwartungswert: $\operatorname{E}(X) = \mu$
- Varianz: $\operatorname{Var}(X) = \mu$
Dies ist eine einzigartige und nützliche Eigenschaft, die die Poissonverteilung von vielen anderen Verteilungen unterscheidet.
Poissonverteilung: Ein praktisches Beispiel
Stell dir vor, du möchtest die Anzahl der Autos modellieren, die innerhalb von 30 Sekunden durch einen Tunnel fahren. Nehmen wir an, der erwartete Wert $\mu$ beträgt 5 Autos. Wenn du die Wahrscheinlichkeit wissen möchtest, dass genau 4 Autos in 30 Sekunden durchfahren, berechnest du:
$$f_{\mathrm{P}}(4/5) = \frac{5^4}{4!} e^{-5} \approx 0,1755$$
Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 Autos passieren, liegt bei etwa 17,55%.
Grenzwertübergänge und Approximationen von Verteilungen
Ein faszinierender Aspekt der Statistik ist, wie verschiedene Verteilungen unter bestimmten Bedingungen miteinander in Beziehung stehen und sich einander annähern können. Dies ermöglicht es uns, komplexe Berechnungen zu vereinfachen und das Verhalten von Zufallsvariablen in verschiedenen Szenarien besser zu verstehen.
Die Poissonverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung
Die Poissonverteilung kann als Grenzwert der Binomialverteilung betrachtet werden. Dies ist besonders nützlich, wenn die Anzahl der Versuche $n$ sehr groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit $\theta$ sehr klein ist, aber das Produkt $n \cdot \theta$ konstant bleibt. Dies ist typisch für seltene Ereignisse.
Bedingungen für die Approximation:
$$n \to \infty, n \cdot \theta \to \mu \in \mathbb{R}$$
Berechnung des Grenzwertes:
$$ \begin{array}{l} \lim _ {n \to \infty} W (X = x) = \lim _ {n \to \infty} \binom {n} {x} \theta^ {x} \cdot (1 - \theta) ^ {n - x} \ = \lim _ {n \to \infty} \frac {n !}{(n - x) ! x !} \cdot \left(\frac {\mu}{n}\right) ^ {x} \cdot \left(1 - \frac {\mu}{n}\right) ^ {n - x} \ = \lim _ {n \to \infty} \underbrace {\frac {n !}{(n - x) ! n ^ {x}}} _ {\to 1} \cdot \frac {\mu^ {x}}{x !} \cdot \underbrace {\left(1 - \frac {\mu}{n}\right) ^ {n}} _ {\to e ^ {- \mu}} \cdot \underbrace {\left(1 - \frac {\mu}{n}\right) ^ {- x}} _ {\to 1} \ = \frac {\mu^ {x}}{x !} e ^ {- \mu} \end{array} $$
Das Ergebnis ist genau die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung. Dies zeigt, dass die Poissonverteilung eine gute Approximation für die Binomialverteilung ist, wenn die oben genannten Bedingungen erfüllt sind (viele Versuche, geringe Erfolgswahrscheinlichkeit).
Grenzwert der Hypergeometrischen Verteilung
Auch die Hypergeometrische Verteilung, die bei Ziehungen ohne Zurücklegen zum Einsatz kommt, kann unter bestimmten Bedingungen approximiert werden. Wenn die Gesamtanzahl der Objekte $N$ sehr groß ist und der Anteil der interessierenden Objekte $M/N$ konstant bleibt, nähert sich die Hypergeometrische Verteilung der Binomialverteilung an.
Bedingungen für die Approximation:
$$N \to \infty, \frac {M}{N} \to \theta \in [ 0, 1 ]$$
Berechnung des Grenzwertes:
$$ \begin{array}{l} = \lim _ {N \rightarrow \infty} \frac {\binom {M} {x} \cdot \binom {N - M} {n - x}}{\binom {N} {n}} \ = \lim _ {N \rightarrow \infty} \frac {M !}{x ! (M - x) !} \cdot \frac {(N - M) !}{(n - x) ! (N - M - n + x) !} \cdot \frac {n ! (N - n) !}{N !} \ = \lim _ {N \rightarrow \infty} \binom {n} {x} \prod_ {k = 1} ^ {x} \underbrace {\frac {M - x + k}{N - x + k}} _ {\rightarrow \theta} \cdot \prod_ {l = 1} ^ {n - x} \underbrace {\frac {N - M - n + x + l}{N - n + l}} _ {\rightarrow 1 - \theta} \ = \binom {n} {x} \cdot \theta^ {x} \cdot (1 - \theta) ^ {n - x} \end{array} $$
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung. Dies ist sinnvoll, da bei einer sehr großen Grundgesamtheit das Ziehen ohne Zurücklegen dem Ziehen mit Zurücklegen ähnelt, da sich die Wahrscheinlichkeiten kaum ändern.
Wann ist eine Approximation „gut“?
Es gibt Faustregeln, die dir helfen zu entscheiden, wann eine Approximation als „gut“ betrachtet werden kann:
- Hypergeometrische → Binomialverteilung: Wenn die Stichprobengröße $n$ sehr klein im Vergleich zur Gesamtpopulation $N$ ist, genauer gesagt, wenn $\frac{n}{N} < 0.05$.
- Binomialverteilung → Poissonverteilung: Wenn die Anzahl der Versuche $n > 10$ (viele Versuche) und die Erfolgswahrscheinlichkeit $\theta < 0.05$ (geringe Erfolgschance) ist.
Die Multinomialverteilung: Eine Erweiterung der Binomialverteilung
Die Multinomialverteilung ist eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung für Situationen, in denen es mehr als zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch gibt.
Definition und Eigenschaften der Multinomialverteilung
Die Multinomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ unabhängigen Versuchen mit jeweils $k$ möglichen Ausgängen und identischen Wahrscheinlichkeiten $\theta_{1}, \ldots, \theta_{k}$ die Anzahlen $x_{1}$ von Ausgang 1 bis $x_{k}$ von Ausgang $k$ zu realisieren.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine $k$-dimensionale diskrete Zufallsvariable $X = (X_{1}, \ldots, X_{k})$ ist:
$$f _ {\mathrm {M}} (x _ {1}, x _ {2}, \ldots, x _ {k} / n; \theta_ {1}; \ldots ; \theta_ {k}) = \frac {n !}{x _ {1} ! \cdot \ldots \cdot x _ {k} !} \theta_ {1} ^ {x _ {1}} \cdot \ldots \cdot \theta_ {k} ^ {x _ {k}},$$
mit den wichtigen Bedingungen:
$$\mathrm {mit} \sum_ {i = 1} ^ {k} x _ {i} = n \mathrm {und} \sum_ {j = 1} ^ {k} \theta_ {j} = 1.$$
Wichtige Eigenschaften der Multinomialverteilung:
- Parameter: $n \in \mathbb{N}$ (Anzahl der Versuche) und $\theta_{1}, \ldots, \theta_{k} \in \mathbb{R}_{+}$ (Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausgänge).
- Wertebereich: Die Zufallsvariable ist ein Vektor $(x_{1}, \ldots, x_{k}) \in \mathbb{N}_{0}^{k}$.
Multinomialverteilung: Ein anschauliches Beispiel
Stell dir vor, du führst eine Umfrage unter 20 Personen zur französischen Vorwahl 2017 durch. Die Umfragewerte waren:
- Macron: 24% ($\theta_1 = 0.24$)
- Le Pen: 21% ($\theta_2 = 0.21$)
- Fillon: 20% ($\theta_3 = 0.20$)
- Mélenchon: 20% ($\theta_4 = 0.20$)
- Rest: 15% ($\theta_5 = 0.15$)
Du möchtest die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass 5 Personen für Macron, 4 für Le Pen, 4 für Fillon, 4 für Mélenchon und 3 für den Rest stimmen, bei insgesamt $n=20$ Befragten.
Die Wahrscheinlichkeit dieser spezifischen Verteilung ist:
$$\frac{20!}{5! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 3!} \cdot 0,24^5 \cdot 0,21^4 \cdot 0,20^4 \cdot 0,20^4 \cdot 0,15^3 \approx 0,003$$
Verteilungsfunktion der Multinomialverteilung
Die kumulative Verteilungsfunktion der Multinomialverteilung wird berechnet, indem über alle möglichen Kombinationen von Anzahlen summiert wird, die die Bedingungen erfüllen:
$$F_{\mathrm{M}}(x_1, x_2, \dots, x_k / n; \theta_1; \dots; \theta_k) = \sum_{v_1 \leqslant x_1} \cdots \sum_{v_k \leqslant x_k} f_{\mathrm{M}}(v_1, v_2, \dots, v_k / n; \theta_1; \dots; \theta_k)$$
mit $v_1, v_2, \ldots, v_k \in \mathbb{N}0$ und $\sum{j=1}^{k} v_j = n$.
Ein Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand mehr als 5 Stimmen (bei $n=20$ Befragten und den obigen Wahrscheinlichkeiten) bekommt?
$$F_{\mathrm{M}}(5,5,5,5,5 / 20; 0,24; 0,21; 0,20; 0,20; 0,15) \approx 0,172$$
Fazit und Zusammenfassung
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie die Poisson- und Multinomialverteilung sind unverzichtbare Werkzeuge in der Statistik. Die Möglichkeit, Verteilungen unter bestimmten Bedingungen zu approximieren, vereinfacht nicht nur komplexe Berechnungen, sondern bietet auch tiefere Einblicke in die zugrunde liegenden stochastischen Prozesse. Ob du seltene Ereignisse modellierst oder die Wahrscheinlichkeit von Mehrfachereignissen in einer Umfrage analysierst, das Verständnis dieser Konzepte ist der Schlüssel zum Erfolg in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Häufig gestellte Fragen zu diskreten Verteilungen
Was ist der Hauptunterschied zwischen einer diskreten und einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Der Hauptunterschied liegt im Wertebereich der Zufallsvariablen. Eine diskrete Zufallsvariable kann nur abzählbare Werte (z.B. ganze Zahlen) annehmen, während eine stetige Zufallsvariable beliebige Werte innerhalb eines bestimmten Intervalls annehmen kann (z.B. reelle Zahlen).
Wann sollte ich die Poissonverteilung anstelle der Binomialverteilung verwenden?
Die Poissonverteilung ist eine gute Approximation für die Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche ($n$) sehr groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit ($\theta$) sehr klein ist, typischerweise $n > 10$ und $\theta < 0.05$. Dies ist der Fall, wenn du seltene Ereignisse in einem großen Sample oder über einen langen Zeitraum modellieren möchtest.
Welche Rolle spielt der Parameter $\mu$ in der Poissonverteilung?
Der Parameter $\mu$ (gesprochen „mü“) ist der Erwartungswert der Poissonverteilung und gleichzeitig auch ihre Varianz. Er repräsentiert die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse, die in einem bestimmten Zeitintervall oder Raumabschnitt erwartet werden.
Wann wird die Multinomialverteilung verwendet und wie unterscheidet sie sich von der Binomialverteilung?
Die Multinomialverteilung wird verwendet, wenn ein Experiment $n$ unabhängige Versuche umfasst, jeder Versuch $k$ mögliche Ergebnisse hat und du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen für jedes der $k$ Ergebnisse berechnen möchtest. Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Multinomialverteilung, bei dem es nur $k=2$ mögliche Ergebnisse pro Versuch gibt (Erfolg oder Misserfolg).