Zusammenfassung von Grundlagen der Statistik: Diskrete Verteilungen
Grundlagen der Statistik: Diskrete Verteilungen einfach erklärt
Einführung
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben Zufallsgrößen, die nur endlich viele oder abzählbar viele Werte annehmen können. Sie sind zentral in Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie und bei Anwendungen wie Urnenmodellen, Qualitätskontrolle oder Risikobewertung.
Definition: Eine diskrete Zufallsvariable $X$ nimmt Werte aus einer abzählbaren Menge an und besitzt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x)=P(X=x)$ mit $\sum_x f(x)=1$.
Grundkonzepte
Zufallsraum und Laplace-Ansatz
- Ereignisraum $S$ hat $|S|$ Elementarereignisse. Unter Gleichwahrscheinlichkeit gilt $$P(A)=\frac{|A|}{|S|}.$$
- Beispiel: Wahrscheinlichkeit, beim fairen Würfel eine 4 zu würfeln, ist $P(4)=\frac{1}{6}$.
Definition: Laplace-Ansatz: Bei endlich vielen gleichwahrscheinlichen Ergebnissen berechnet sich $P(A)$ durch die Quotientenformel $\frac{|A|}{|S|}$.
Zufallsvariable
- Eine Zufallsvariable $X$ bildet Elementarereignisse auf reelle Werte ab: $X:S\to\mathbb{R}$.
- Beispiel: Augenzahl beim Wurf eines Würfels: $X(e_i)=i$ für $i=1,\dots,6$.
Wichtige Verteilungen (diskret)
Wir behandeln hier mehrere diskrete Verteilungen außer der Binomialverteilung (diese ist ausgeschlossen).
Diskrete Gleichverteilung
- Definition: $X$ nimmt $k$ verschiedene Werte $x_1,\dots,x_k$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit an.
Definition: Diskrete Gleichverteilung: $$f(x/k)=\begin{cases} \dfrac{1}{k} &\text{für }x\in{x_1,\dots,x_k}\ 0 &\text{sonst}\end{cases}$$
- Erwartungswert allgemein: $$E(X)=\sum_{i=1}^{k} x_i f(x_i).$$
- Für die Gleichverteilung: $$E(X)=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} x_i.$$
- Varianz: $$\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} x_i^2 -\left(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} x_i\right)^2.$$
Beispiele und Anwendungen:
- Würfel ($k=6$), Münzwurf ($k=2$), Roulette ($k=37$), Ziehung einer Lotto-Kombination ($k=\binom{49}{6}$).
Wusstest du, dass bei einer Gleichverteilung auf den Werten $1,\dots,n$ der Erwartungswert $E(X)=\frac{n+1}{2}$ ist? Dies folgt direkt aus der Formel für arithmetische Reihen.
Hypergeometrische Verteilung
- Modell: Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population.
Definition: Hypergeometrische Verteilung mit Parametern $N,M,n$ (Population $N$, Treffer $M$, Stichprobengröße $n$) hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion $$f_{\mathrm{H}}\left(\frac{x}{N};n;M\right)=\begin{cases} \dfrac{\binom{M}{x}\cdot\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} &\text{für }x\in{0,1,\dots,n}\ 0 &\text{sonst}\end{cases}$$
- Erwartungswert: $$E(X)=n\cdot\frac{M}{N}.$$
Beispiel 1 (Kapitalanlage):
- Insgesamt $N=6$ Anlageoptionen, davon $M=2$ verlustbringend. Es werden $n=4$ Anlagen gewählt. Wahrscheinlichkeit genau einen Verlust auszuwählen ($x=1$): $$|S|=\binom{6}{4}=15$$ $$|A|=\binom{2}{1}\cdot\binom{4}{3}=2\cdot 4=8$$ $$P(X=1)=\frac{8}{15}\approx 0{,}53.$$
Beispiel 2 (Urnenmodell):
- $N=10$ Kugeln, $M=4$ rot, $n=5$ gezogen. Wahrscheinlichkeit genau zwei rote Kugeln: $$P(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\cdot\binom{6}{3}}{\binom{10}{5}}\approx 0{,}476.$$
Wusstest du, dass die hypergeometrische Verteilung zur binomialen Verteilung konvergiert, wenn $N\to\infty$ und der Anteil $M/N$ konstant bleibt? Damit beschreibt die Binomialverteilung Ziehen mit Zurücklegen als Grenzfall.
Kombinatorik-Tools (Kurzreferenz)
- Permutation ohne Wiederholung: $P(N)=N!$.
- Anordnungen ohne Wiederholung (teilweise): $\dfrac{N!}{(N-n)!}$.
- Kombination ohne Anordnung ohne Wiederholung: $\binom{N}{n}$.
- Mit Wiederholung, ohne Anordnung: $\binom{N+n-1}{n}$.
- Mit Wiederholung, mit Anordnung: $N^n$.
Tabelle: Vergleich wichtiger Formeln
| Situation | Mit Anordnung | Ohne Anordnung |
|---|---|---|
| Ohne Wiederholung | $\dfrac{N!}{(N-n)!}$ | $\binom{N}{n}$ |
| Mit Wiederholung | $N^n$ | $\binom{N+n-1}{n}$ |
Praktische Hinweise und Anwendungen
- Urnenmodelle sind praxisrelevant für Q
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Klíčové pojmy: Diskrete Zufallsvariable nimmt abzählbare Werte an, Laplace-Ansatz: $P(A)=\frac{|A|}{|S|}$ bei Gleichwahrscheinlichkeit, Gleichverteilung: $f(x)=1/k$ für $k$ Ausprägungen, Erwartungswert Gleichverteilung: $E(X)=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i$, Varianz Gleichverteilung: $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{k}\sum x_i^2-\left(\frac{1}{k}\sum x_i\right)^2$, Hypergeometrisch: $f_H=\dfrac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}$, Erwartungswert hypergeometrisch: $E(X)=n\cdot\dfrac{M}{N}$, Permutation ohne Wiederholung: $N!$, Kombination ohne Reihenfolge: $\binom{N}{n}$, Mit Wiederholung ohne Reihenfolge: $\binom{N+n-1}{n}$, Hypergeometrisch passt für Ziehen ohne Zurücklegen, Bei großen $N$ nähert Hypergeometrisch die Binomialverteilung an