Test zu Grundlagen der Statistik: Diskrete Verteilungen

Frage 1: Die Anzahl der Permutationen von N voneinander verschiedenen Elementen ist gegeben durch N^n.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Studie besagt, dass die Anzahl der Permutationen von N voneinander verschiedenen Elementen N! beträgt. Die Formel N^n gilt für Kombinationen mit Wiederholung und Berücksichtigung der Anordnung, nicht für Permutationen von N verschiedenen Elementen.

Frage 2: Welche der folgenden Aussagen beschreiben korrekte Eigenschaften einer diskreten Gleichverteilung?

A. Der Parameter $k$ muss eine natürliche Zahl sein ($k \in \mathbb{N}$). Das ist korrekt.

B. Der Wertebereich $x$ umfasst $k$ unterschiedliche reelle Ausprägungen ($x_k \in \mathbb{R}$). Das ist korrekt.

C. Die Verteilungsfunktion ist definiert als $F(x/k) = \frac{|\{k : x_k \leqslant x\}|}{k}$. Das ist korrekt.

D. Die Anzahl der Permutationen von $N$ Elementen ist die primäre Eigenschaft einer diskreten Gleichverteilung. Das ist falsch. Die Anzahl der Permutationen ist ein Konzept aus der Kombinatorik und keine Eigenschaft der diskreten Gleichverteilung selbst, obwohl Kombinatorik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet werden kann.

Erklärung: Gemäß den Studienmaterialien sind die Eigenschaften einer diskreten Gleichverteilung, dass der Parameter $k$ eine natürliche Zahl ist ($k \in \mathbb{N}$), der Wertebereich $x$ aus $k$ unterschiedlichen reellen Ausprägungen besteht ($x_k \in \mathbb{R}$), und die Verteilungsfunktion $F(x/k) = \frac{|\{k : x_k \leqslant x\}|}{k}$ ist. Die Anzahl der Permutationen ist ein Konzept aus der Kombinatorik und keine direkte Eigenschaft der diskreten Gleichverteilung.

Frage 3: Die Varianz einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariablen kann mit der Formel der Varianz der Gleichverteilung berechnet werden.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die bereitgestellten Materialien enthalten eine Formel für die Varianz der Gleichverteilung, aber keine Formel für die Varianz der hypergeometrischen Verteilung, noch wird eine Verbindung zwischen den beiden Varianzformeln hergestellt. Es wird nur der Erwartungswert für die hypergeometrische Verteilung angegeben.

Frage 4: Für die hypergeometrische Verteilung kann der Parameter M größer sein als der Parameter N.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Laut den Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung müssen die Parameter N, M, n natürliche Zahlen sein, wobei N größer oder gleich M sein muss (N ">= M). Daher kann M nicht größer als N sein.

Frage 5: Welche Aussage beschreibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung korrekt?

A. Die Funktion berechnet die Wahrscheinlichkeit, $x$ Elemente aus einer $M$-elementigen Teilmenge zu ziehen, wenn insgesamt $N$ Elemente vorhanden sind und eine Stichprobe vom Umfang $n$ gezogen wird.

B. Die Funktion ist definiert als $f_{\mathrm{H}}(x/N; n; M) = \frac{\binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ für $x \in \{0,1,\ldots,n\}$.

C. Die Parameter $N, M, n$ müssen natürliche Zahlen sein, wobei $N \ge n$ und $N \ge M$ gelten muss.

D. Der Wertebereich für $x$ ist auf alle positiven reellen Zahlen beschränkt.

Erklärung: Die Studie Materialien beschreiben die hypergeometrische Verteilung als eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit formuliert, aus $N$ Elementen (mit einer $M$-elementigen Teilmenge) eine Stichprobe mit Umfang $n$ zu ziehen, die $x$ Elemente aus der Teilmenge enthält. Die Formel ist explizit angegeben und die Bedingungen für die Parameter $N, M, n$ sowie der Wertebereich für $x$ sind ebenfalls klar definiert. Option 3 ist falsch, da der Wertebereich für $x$ auf ganze Zahlen von $0$ bis $n$ beschränkt ist, nicht auf positive reelle Zahlen.