Вектори
Вектори — безкоштовна інтерактивна симуляція зі StudyFi Lab. Працює просто в браузері, без реєстрації та встановлення.
Додавай, масштабуй і перемножуй вектори у 2D і 3D
Експерименти
Основи
Вектор має довжину і напрям. Його записують координатами a = (a₁; a₂; a₃) або через одиничні вектори осей: a = a₁i + a₂j + a₃k. Довжину знаходять за теоремою Піфагора: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), а одиничний вектор â = a / |a| зберігає напрям і має довжину 1. Вектор із точки A в точку B дорівнює різниці B − A.
Спробуй: Перетягни кінець вектора в (3; 4) і перевір, що |a| = 5. Потім увімкни «За двома точками» і зсунь обидві точки однаково: вектор не зміниться.
Додавання векторів
Вектори додають покоординатно: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). На рисунку b переносять у кінець a (правило трикутника) або будують на двох векторах паралелограм, і сума — його діагональ. Різниця a − b — це сума a + (−b), тобто вектор із кінця b у кінець a.
Спробуй: Натисни «Перенести b в кінець a» і подивись, як утворюється трикутник. Потім перейди до паралелограма й задай b = −a: сума стане нульовим вектором.
Множення на число
Вектор k·a отримують множенням кожної координати на k, тому він лежить на тій самій прямій, що й a: вектори колінеарні. Довжина стає |k|·|a|. При k > 0 напрям зберігається, при k < 0 змінюється на протилежний, а k = 0 дає нульовий вектор.
Спробуй: Зміни k з 2 на −2 і подивись, як стрілка перевертається через початок координат, а її довжина не змінюється.
Скалярний добуток
Скалярний добуток — це число: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Він додатний при гострому куті між векторами, дорівнює нулю при прямому і від’ємний при тупому, тому a·b = 0 означає перпендикулярність. Проєкція b на напрям a має довжину a·b / |a|.
Спробуй: Задай a = (4; 1) і знайди b, для якого a·b = 0. Чи вийде (−1; 4)? Спочатку завжди вгадай знак.
Векторний добуток
Векторний добуток a × b — вектор, перпендикулярний і до a, і до b. Його напрям визначає правило правої руки, а довжина |a × b| = |a|·|b|·sin φ дорівнює площі паралелограма, побудованого на a і b. Для паралельних векторів він нульовий, а якщо переставити множники, змінює знак: b × a = −(a × b).
Спробуй: Задай a = (3; 0; 0) і b = (0; 2; 0): a × b напрямлений уздовж осі z і має довжину 6, як площа прямокутника 3 × 2. Потім нахили b до a й подивись, як площа зменшується.
Мішаний добуток
Мішаний добуток (a × b)·c — число, що дорівнює визначнику з координат a, b і c. Його модуль дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах. Якщо він нульовий, паралелепіпед плаский: усі три вектори лежать в одній площині (компланарні).
Спробуй: Задай c = a − b, тобто c = (3; −1; −1) для початкових a і b: об’єм падає до нуля. Потім збільш c₃ і подивись, як тіло «роздувається».
Поширені запитання
Що таке «Вектори»?
Вектори — безкоштовна інтерактивна симуляція зі StudyFi Lab. Працює просто в браузері, без реєстрації та встановлення. Додавай, масштабуй і перемножуй вектори у 2D і 3D
Застосунок «Вектори» безкоштовний?
Так. Застосунок «Вектори» повністю безкоштовний. Він працює в браузері на комп’ютері, планшеті й телефоні, акаунт не потрібен.
Що можна дослідити в застосунку «Вектори»?
Основи, Додавання векторів, Множення на число, Скалярний добуток, Векторний добуток, Мішаний добуток.
Що показує експеримент «Основи»?
Вектор має довжину і напрям. Його записують координатами a = (a₁; a₂; a₃) або через одиничні вектори осей: a = a₁i + a₂j + a₃k. Довжину знаходять за теоремою Піфагора: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), а одиничний вектор â = a / |a| зберігає напрям і має довжину 1. Вектор із точки A в точку B дорівнює різниці B − A.
Що показує експеримент «Додавання векторів»?
Вектори додають покоординатно: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). На рисунку b переносять у кінець a (правило трикутника) або будують на двох векторах паралелограм, і сума — його діагональ. Різниця a − b — це сума a + (−b), тобто вектор із кінця b у кінець a.
Готуєшся до контрольної?
Завантаж свої конспекти, і StudyFi перетворить їх на картки, тести й подкасти.