Wektory
Wektory to darmowa interaktywna symulacja ze StudyFi Lab. Działa bezpośrednio w przeglądarce, bez rejestracji i bez instalacji.
Dodawaj, skaluj i mnóż wektory w 2D i 3D
Eksperymenty
Podstawy
Wektor ma długość i kierunek. Zapisujemy go współrzędnymi a = [a₁; a₂; a₃] albo za pomocą wersorów osi jako a = a₁i + a₂j + a₃k. Długość liczymy z twierdzenia Pitagorasa: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), a wersor â = a / |a| ma ten sam kierunek i długość 1. Wektor od punktu A do punktu B to różnica B − A.
Spróbuj: Przeciągnij grot do (3; 4) i sprawdź, że |a| = 5. Potem włącz „Z dwóch punktów” i przesuń oba punkty o tyle samo – wektor się nie zmieni.
Dodawanie wektorów
Wektory dodajemy po współrzędnych: a + b = [a₁ + b₁; a₂ + b₂]. Na rysunku przenosimy b na koniec a (reguła trójkąta) albo budujemy z obu wektorów równoległobok, a suma jest jego przekątną. Różnica a − b to suma a + (−b), czyli wektor od końca b do końca a.
Spróbuj: Naciśnij „Przenieś b na koniec a” i zobacz, jak powstaje trójkąt. Potem przełącz na równoległobok i ustaw b = −a: suma to wektor zerowy.
Mnożenie przez liczbę
Iloczyn k·a mnoży każdą współrzędną przez k, więc leży na tej samej prostej co a – wektory są współliniowe. Długość zmienia się na |k|·|a|. Dla k > 0 zwrot się nie zmienia, dla k < 0 staje się przeciwny, a k = 0 daje wektor zerowy.
Spróbuj: Przesuń k z 2 na −2 i zobacz, jak strzałka przeskakuje przez początek układu, a jej długość się nie zmienia.
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny to liczba: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Jest dodatni, gdy wektory tworzą kąt ostry, zerowy przy kącie prostym i ujemny przy rozwartym – dlatego a·b = 0 oznacza prostopadłość. Rzut b na kierunek a ma długość a·b / |a|.
Spróbuj: Ustaw a = [4; 1] i znajdź b, dla którego a·b = 0. Uda ci się trafić [−1; 4]? Zawsze najpierw zgadnij znak.
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy a × b to wektor prostopadły zarówno do a, jak i do b. Jego zwrot wyznacza reguła prawej dłoni, a długość |a × b| = |a|·|b|·sin φ równa się polu równoległoboku rozpiętego na a i b. Dla wektorów równoległych jest zerowy, a po zamianie czynników zmienia zwrot: b × a = −(a × b).
Spróbuj: Ustaw a = [3; 0; 0] i b = [0; 2; 0]: a × b wskazuje wzdłuż osi z i ma długość 6, tak jak prostokąt 3 × 2. Potem przechyl b w stronę a i zobacz, jak pole maleje.
Iloczyn mieszany
Iloczyn mieszany (a × b)·c to liczba równa wyznacznikowi ze współrzędnych a, b i c. Jego wartość bezwzględna to objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach. Gdy wychodzi zero, równoległościan jest płaski – wszystkie trzy wektory leżą w jednej płaszczyźnie (są współpłaszczyznowe).
Spróbuj: Ustaw c = a − b, czyli c = [3; −1; −1] dla początkowych a i b: objętość spada do zera. Potem zwiększ c₃ i zobacz, jak bryła się „nadmuchuje”.
Najczęstsze pytania
Czym jest Wektory?
Wektory to darmowa interaktywna symulacja ze StudyFi Lab. Działa bezpośrednio w przeglądarce, bez rejestracji i bez instalacji. Dodawaj, skaluj i mnóż wektory w 2D i 3D
Czy aplikacja Wektory jest darmowa?
Tak. Aplikacja Wektory jest całkowicie darmowa. Działa w przeglądarce na komputerze, tablecie i telefonie, a konto nie jest potrzebne.
Co mogę odkryć w aplikacji Wektory?
Podstawy, Dodawanie wektorów, Mnożenie przez liczbę, Iloczyn skalarny, Iloczyn wektorowy, Iloczyn mieszany.
Co pokazuje eksperyment „Podstawy”?
Wektor ma długość i kierunek. Zapisujemy go współrzędnymi a = [a₁; a₂; a₃] albo za pomocą wersorów osi jako a = a₁i + a₂j + a₃k. Długość liczymy z twierdzenia Pitagorasa: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), a wersor â = a / |a| ma ten sam kierunek i długość 1. Wektor od punktu A do punktu B to różnica B − A.
Co pokazuje eksperyment „Dodawanie wektorów”?
Wektory dodajemy po współrzędnych: a + b = [a₁ + b₁; a₂ + b₂]. Na rysunku przenosimy b na koniec a (reguła trójkąta) albo budujemy z obu wektorów równoległobok, a suma jest jego przekątną. Różnica a − b to suma a + (−b), czyli wektor od końca b do końca a.
Uczysz się do sprawdzianu?
Wgraj swoje notatki, a StudyFi zrobi z nich fiszki, testy i podcasty.