Zhrnutie na Slovné úlohy na NSD a NSN

Slovné úlohy na NSD a NSN: Podrobný rozbor a riešenia

ZhrnutieTest znalostíKartičkyPodcastMyšlienková mapa

Úvod

Matematické slovné úlohy pomáhajú precvičiť logické myslenie, delenie, násobenie a hľadanie spoločných deliteľov. V týchto úlohách čítame príbeh a premeníme ho na matematický výraz alebo rovnicu. Naučíme sa používať najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ, aby sme riešili opakujúce sa zhody, rozdeľovanie alebo skladačky z rovnakých dielikov.

Definícia: Najmenší spoločný násobok (NSN) dvoch čísel je najmenšie kladné číslo, ktoré je násobkom oboch čísel.

Definícia: Najväčší spoločný deliteľ (NSD) dvoch alebo viacerých čísel je najväčšie číslo, ktoré ich všetky delí bez zvyšku.

Základné pojmy rozdelené na kroky

1) Prepočet slovnej úlohy na matematiku

  • Prečítaj si text a zvýrazni čísla a opisy (napr. počty zubov, počet tyčiek, rozmery).
  • Urči, či hľadáš NSN alebo NSD podľa úlohy: opakujúce sa stretnutia zubov = NSN, rozdelenie darov na rovnaké diely = NSD.

2) Ako nájsť NSD (najväčší spoločný deliteľ)

  • Rozlož čísla na prvočíselné faktory alebo použij spoločný deliteľ postupným delením.
  • NSD je súčin spoločných prvočísel s najmenším exponentom.

Príklad: NSD z $54$ a $81$: rozklad $54 = 2\cdot 3^3$, $81 = 3^4$, NSD $=3^3=27$.

3) Ako nájsť NSN (najmenší spoločný násobok)

  • NSN z dvoch čísel nájdeme cez rozklady alebo vzťah: $$\text{NSN}(a,b) = \frac{a\cdot b}{\text{NSD}(a,b)}$$

Príklad: NSN z $24$ a $36$: NSD je $12$, preto $$\text{NSN}=\frac{24\cdot 36}{12}=72$$

Ukážkové riešenia príkladov z daného textu

  1. Ozubené kolesá: hnacie koleso $24$ zubov, hnané $36$ zubov. Stretnú sa, keď uplynie NSN z $24$ a $36$. Najprv NSD($24,36$) $=12$, preto $$\text{NSN}=\frac{24\cdot 36}{12}=72$$ Znamená to, že sa zuby stretnú po $72$ zubových posunoch, teda po $72$ krokoch sa znovu stretnú tie isté zuby.

  2. Tyčky do rovnostranných útvarov: tvary potrebujú počet tyčiek $3$, $4$, $6$, $8$. Hľadáme také $n\le 30$, že $n$ deliteľné $3$, $4$, $6$, $8$. To je NSN zo $3,4,6,8$. Rozklady: $3$, $4=2^2$, $6=2\cdot3$, $8=2^3$. NSN musí mať $2^3$ a $3$, teda NSN $=2^3\cdot3=24$. V stavebnici je $24$ tyčiek.

  3. (predchádzajúce je sada) — už vyriešené: $24$.

  4. Športovci nastúpia do skupín veľkosti $2,3,4,5,6,8$ a ich počet je medzi $100$ a $200$. Hľadáme číslo v tomto intervale, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel, teda NSN zo $2,3,4,5,6,8$. Rozklady: $2,3,2^2,5,2\cdot3,2^3$. NSN má $2^3$ a $3$ a $5$, teda $2^3\cdot3\cdot5=8\cdot3\cdot5=120$. Skupina má $120$ športovcov.

  5. Obrázky obdĺžnika $105\text{ mm}$ a $42\text{ mm}$ — hľadáme najmenší štvorec, ktorý plynule pokryje (dlažba) rozmery, teda NSD dvoch rozmerov? V tomto prípade hľadáme najväčší rozmer štvorca, ktorý sa zmestí do oboch rozmerov celé krát, teda NSD($105,42$). Rozklad: $105=3\cdot5\cdot7$, $42=2\cdot3\cdot7$, NSD $=3\cdot7=21$. Veľkosť strany štvca je $21\text{ mm}$. Počet potrebných obrázkov: $$\frac{105}{21}\cdot\frac{42}{21}=5\cdot2=10.$$ Potrebujeme $10$ obrázkov.

  6. Obdĺžnik $36\text{ cm}$ a $60\text{ cm}$, hľadáme najväčší štvorcový dielik (NSD): rozklady $36=2^2\cdot3^2$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, NSD $=2^2\cdot3=12$. Dĺžka strany $12\text{ cm}$. Počet štvorcov: $$\frac{36}{12}\cdot\frac{60}{12}=3\cdot5=15.$$ Potrebujeme $15$ štvorcov.

  7. Sponzor daroval $54$ pier, $81$ blokov, $135$ ceruziek. Žiaci dostali všetko rovnakým počtom kusov, počet žiakov je NSD($54,81,135$) ako deliteľ? Vlastne počet žiakov je spoločný deliteľ, ale chceme najväčší možný počet žiakov, ktorý rozdelí všetko rovnomerne, teda NSD týchto čísel. Rozklady: $54=2\cdot3^3$, $81=3^4$, $135=3^3\cdot5$. NSD obsahuje spoločné prvočísla s min exponentom: $3^3=27$. Preto žiakov bolo $27$ (vieme, že ich bolo viac ako $25$ – súhlasí).

  8. Športovci: $120$ atlétov, $48$ volejbalistov, $72$ hádzanárov. Hľadáme najväčší počet športovcov v každej skupine, teda NSD($120,48,72$). Rozklady: $120=2^3\cdot3\cdot5$, $48=2^4\cdot3$, $72=2^3\cdot3^2$. Spoločné prvočísla s min exponentom: $2^3\cdot3=8\cdot3=24$. Najväčší rovnaký počet v skupine je $24$.

  9. Janka čítala

Zaregistruj se pro celé shrnutí
KartičkyTest znalostíZhrnutiePodcastMyšlienková mapa
Začni zadarmo

Už máš účet? Prihlásiť sa

Matematické slovné úlohy

Klíčové pojmy: Rozlíšiť, kedy použiť NSN alebo NSD, NSD = najväčší spoločný deliteľ cez prvočíselný rozklad, NSN = najmenší spoločný násobok cez NSD alebo rozklad, Pre stretnutie opakujúcich sa udalostí použiť NSN, Pre rovnomerné rozdelenie alebo veľký dielik použiť NSD, Počet dlaždíc = (dĺžka1/strana)\cdot(dĺžka2/strana), Rovnice z času čítania: vytvoriť rovnicu a riešiť krokmi, Pri viacerých číslach rozkladať na prvočísla pre NSD/NSN, NSN($24,36$) = $72$, NSD($54,81,135$) = $27$, Rozmer najmenšieho štvorca pre $105,42$ je $21\,\text{mm}$, Počet športovcov vhodný pre skupiny $120,48,72$ je $24$

## Úvod Matematické slovné úlohy pomáhajú precvičiť logické myslenie, delenie, násobenie a hľadanie spoločných deliteľov. V týchto úlohách čítame príbeh a premeníme ho na matematický výraz alebo rovnicu. Naučíme sa používať najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ, aby sme riešili opakujúce sa zhody, rozdeľovanie alebo skladačky z rovnakých dielikov. > **Definícia:** Najmenší spoločný násobok (NSN) dvoch čísel je najmenšie kladné číslo, ktoré je násobkom oboch čísel. > **Definícia:** Najväčší spoločný deliteľ (NSD) dvoch alebo viacerých čísel je najväčšie číslo, ktoré ich všetky delí bez zvyšku. ## Základné pojmy rozdelené na kroky ### 1) Prepočet slovnej úlohy na matematiku - Prečítaj si text a zvýrazni čísla a opisy (napr. počty zubov, počet tyčiek, rozmery). - Urči, či hľadáš NSN alebo NSD podľa úlohy: opakujúce sa stretnutia zubov = NSN, rozdelenie darov na rovnaké diely = NSD. ### 2) Ako nájsť NSD (najväčší spoločný deliteľ) - Rozlož čísla na prvočíselné faktory alebo použij spoločný deliteľ postupným delením. - NSD je súčin spoločných prvočísel s najmenším exponentom. Príklad: NSD z $54$ a $81$: rozklad $54 = 2\cdot 3^3$, $81 = 3^4$, NSD $=3^3=27$. ### 3) Ako nájsť NSN (najmenší spoločný násobok) - NSN z dvoch čísel nájdeme cez rozklady alebo vzťah: $$\text{NSN}(a,b) = \frac{a\cdot b}{\text{NSD}(a,b)}$$ Príklad: NSN z $24$ a $36$: NSD je $12$, preto $$\text{NSN}=\frac{24\cdot 36}{12}=72$$ ## Ukážkové riešenia príkladov z daného textu 1) Ozubené kolesá: hnacie koleso $24$ zubov, hnané $36$ zubov. Stretnú sa, keď uplynie NSN z $24$ a $36$. Najprv NSD($24,36$) $=12$, preto $$\text{NSN}=\frac{24\cdot 36}{12}=72$$ Znamená to, že sa zuby stretnú po $72$ zubových posunoch, teda po $72$ krokoch sa znovu stretnú tie isté zuby. 2) Tyčky do rovnostranných útvarov: tvary potrebujú počet tyčiek $3$, $4$, $6$, $8$. Hľadáme také $n\le 30$, že $n$ deliteľné $3$, $4$, $6$, $8$. To je NSN zo $3,4,6,8$. Rozklady: $3$, $4=2^2$, $6=2\cdot3$, $8=2^3$. NSN musí mať $2^3$ a $3$, teda NSN $=2^3\cdot3=24$. V stavebnici je $24$ tyčiek. 3) (predchádzajúce je sada) — už vyriešené: $24$. 4) Športovci nastúpia do skupín veľkosti $2,3,4,5,6,8$ a ich počet je medzi $100$ a $200$. Hľadáme číslo v tomto intervale, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel, teda NSN zo $2,3,4,5,6,8$. Rozklady: $2,3,2^2,5,2\cdot3,2^3$. NSN má $2^3$ a $3$ a $5$, teda $2^3\cdot3\cdot5=8\cdot3\cdot5=120$. Skupina má $120$ športovcov. 5) Obrázky obdĺžnika $105\text{ mm}$ a $42\text{ mm}$ — hľadáme najmenší štvorec, ktorý plynule pokryje (dlažba) rozmery, teda NSD dvoch rozmerov? V tomto prípade hľadáme najväčší rozmer štvorca, ktorý sa zmestí do oboch rozmerov celé krát, teda NSD($105,42$). Rozklad: $105=3\cdot5\cdot7$, $42=2\cdot3\cdot7$, NSD $=3\cdot7=21$. Veľkosť strany štvca je $21\text{ mm}$. Počet potrebných obrázkov: $$\frac{105}{21}\cdot\frac{42}{21}=5\cdot2=10.$$ Potrebujeme $10$ obrázkov. 6) Obdĺžnik $36\text{ cm}$ a $60\text{ cm}$, hľadáme najväčší štvorcový dielik (NSD): rozklady $36=2^2\cdot3^2$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, NSD $=2^2\cdot3=12$. Dĺžka strany $12\text{ cm}$. Počet štvorcov: $$\frac{36}{12}\cdot\frac{60}{12}=3\cdot5=15.$$ Potrebujeme $15$ štvorcov. 7) Sponzor daroval $54$ pier, $81$ blokov, $135$ ceruziek. Žiaci dostali všetko rovnakým počtom kusov, počet žiakov je NSD($54,81,135$) ako deliteľ? Vlastne počet žiakov je spoločný deliteľ, ale chceme najväčší možný počet žiakov, ktorý rozdelí všetko rovnomerne, teda NSD týchto čísel. Rozklady: $54=2\cdot3^3$, $81=3^4$, $135=3^3\cdot5$. NSD obsahuje spoločné prvočísla s min exponentom: $3^3=27$. Preto žiakov bolo $27$ (vieme, že ich bolo viac ako $25$ – súhlasí). 8) Športovci: $120$ atlétov, $48$ volejbalistov, $72$ hádzanárov. Hľadáme najväčší počet športovcov v každej skupine, teda NSD($120,48,72$). Rozklady: $120=2^3\cdot3\cdot5$, $48=2^4\cdot3$, $72=2^3\cdot3^2$. Spoločné prvočísla s min exponentom: $2^3\cdot3=8\cdot3=24$. Najväčší rovnaký počet v skupine je $24$. 9) Janka čítala