Resumen de Números Racionales y Fracciones

## Introducción La relación entre fracciones y números racionales surge al dividir un todo en partes iguales y expresar cuántas de esas partes se toman. En este material veremos qué significan las fracciones, cuándo dos fracciones son equivalentes y cómo definimos formalmente los números racionales. ## ¿Qué es una fracción? Una **fracción** representa una porción de un todo dividido en partes iguales. Se escribe como $\frac{p}{q}$, donde: - $p$ es el **numerador**: indica cuántas partes se toman. - $q$ es el **denominador**: indica en cuántas partes iguales se ha dividido el todo, con $q\neq 0$. > **Definición:** Dados $p,\ q\in \mathbb{Z}$ con $q\neq 0$, la expresión $\frac{p}{q}$ es una fracción que representa una división de un todo en $q$ partes iguales, de las cuales se toman $p$. ### Ejemplo práctico Si una madre corta una pizza en cinco partes iguales y cada persona recibe una ración, cada ración es $\frac{1}{5}$. Si en otra cena la pizza se divide en 10 partes iguales y cada persona come dos porciones, cada persona ha comido $\frac{2}{10}$. Observa que ambas cantidades representan la misma porción de pizza. ## Fracciones equivalentes Dos fracciones representan la misma porción del todo cuando, aunque sus numeradores y denominadores sean distintos, indican exactamente la misma cantidad. > **Definición:** Dados los enteros $p,\ q,\ r,\ s$ con $q\neq 0$ y $s\neq 0$, diremos que $\frac{p}{q}$ es equivalente a $\frac{r}{s}$ si y sólo si $p\cdot s = r\cdot q$. ### Ejemplos - $\frac{1}{5}$ y $\frac{2}{10}$ son equivalentes porque $1\cdot 10 = 2\cdot 5$. - $\frac{3}{4}$ y $\frac{6}{8}$ son equivalentes porque $3\cdot 8 = 6\cdot 4$. ### Cómo obtener fracciones equivalentes - Multiplicar numerador y denominador por el mismo entero positivo: $\frac{p}{q} = \frac{kp}{kq}$ para $k\in \mathbb{Z}^{+}$. - Dividir numerador y denominador por su máximo común divisor para simplificar. ## Definición de número racional > **Definición:** Dados $p,\ q\in \mathbb{Z}$ con $q\neq 0$, llamaremos **número racional** a la fracción $\frac{p}{q}$, con la convención de que dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional. Esto significa que el número racional no depende de la forma particular de la fracción sino de la cantidad que expresa. Por ejemplo, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ y $\frac{50}{100}$ representan el mismo número racional. ## Comparación: Fracción vs Número racional | Concepto | Qué indica | Notación | Observación | |---|---:|---|---| | Fracción | Porción de un todo | $\frac{p}{q}$ | Puede ser una forma de representar un racional | | Número racional | Valor numérico asociado a una fracción | mismo que la fracción | Fracciones equivalentes definen el mismo racional | ## Aplicaciones y ejemplos del mundo real - Repartir comida: porciones de pizza, pastel, o pastelitos. - Medidas de receta: $\frac{1}{2}$ taza, $\frac{3}{4}$ cucharadita. - Dinero y porcentajes: $\frac{1}{4}$ de una cantidad monetaria. ### Problema resuelto (paso a paso) Una pizza se corta en 8 porciones y una persona come 3 porciones. ¿Qué fracción de la pizza comió? Respuesta: $\frac{3}{8}$. Si la misma porción se quisiera expresar con denominador 16, multiplicamos numerador y denominador por 2: $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$. ## Consejos prácticos - Para comparar fracciones con distinto denominador, conviértelos a un denominador común o usa la regla del producto cruzado: compara $p\cdot s$ y $r\cdot q$ para $\frac{p}{q}$ y $\frac{r}{s}$. - Para simplificar una fracción, divide numerador y denominador por su máximo común divisor. - Para sumar o restar fracciones, reduce a denominador común primero. ¿Sabías que las fracciones aparecen ya en textos matemáticos del Antiguo Egipto y Mesopotamia, donde se usaban para medir áreas y cantidades de grano? ¿Sabías que los romanos usaban fracciones con base 12 para ciertas medidas prácticas? ## Resumen - Una fracción $\frac{p}{q}$ representa $p$ partes de un total dividido en $q$ partes iguales.