Test sobre Geometría Analítica en Espacio 3D

Pregunta 1: Siempre puede escribirse la ecuación simétrica de la recta (en R2 o R3).

A. Ano

B. Ne

Explicación: No siempre es posible escribir la ecuación simétrica de la recta, ya que para ello se requiere que ninguna de las componentes del vector director sea nula, porque aparecerían denominadores iguales a cero, lo cual es indefinido.

Pregunta 2: Según el material de estudio, ¿cómo puede determinarse una recta en el plano?

A. Por tres puntos cualesquiera en el plano.

B. Por un punto que pertenece a ella y un vector que fija la dirección de la recta.

C. Por dos puntos distintos en el plano.

D. Solo por su ecuación paramétrica vectorial.

Explicación: El material de estudio establece que 'Dos puntos del plano R2 determinan de forma unívoca una recta r' y que 'Una recta en el plano puede también venir determinada por un punto que pertenece a ella y un vector que fija la dirección de la recta (vector director)'.

Pregunta 3: La ecuación simétrica de una recta en R2 es válida únicamente si todas las componentes de su vector director son diferentes de cero.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La nota en la sección de 'Ecuación simétrica de la recta' establece explícitamente que 'Esta ecuación es sólo válida si las componentes del vector director son no nulas'.

Pregunta 4: Dada una recta en R2 que pasa por los puntos P = (2, -1) y Q = (4, 3), ¿cuál de las siguientes afirmaciones sobre su vector director y su ecuación simétrica es correcta, basándose en la metodología explicada en los materiales de estudio?

A. El vector director 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ es (2, 4) y la ecuación simétrica es (x - 2) / 2 = (y + 1) / 4.

B. El vector director 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ es (-2, -4) y la ecuación simétrica es (x - 4) / -2 = (y - 3) / -4.

C. El vector director 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ es (2, 4) y la ecuación simétrica es (x + 2) / 2 = (y - 1) / 4.

D. El vector director 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ es (4, 2) y la ecuación simétrica es (x - 2) / 4 = (y + 1) / 2.

Explicación: Para encontrar el vector director 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ , restamos las coordenadas de P a las de Q: Q - P = (4 - 2, 3 - (-1)) = (2, 4). Por lo tanto, el vector director es (2, 4). Para la ecuación simétrica, se usa la fórmula (x - x0) / (x1 - x0) = (y - y0) / (y1 - y0). Usando el punto P=(2, -1) como (x0, y0) y el vector director (2, 4), la ecuación es (x - 2) / 2 = (y - (-1)) / 4, que simplifica a (x - 2) / 2 = (y + 1) / 4. Usando el punto Q=(4, 3) y el vector director (2, 4), la ecuación sería (x - 4) / 2 = (y - 3) / 4. Si se toma el vector director 𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = P - Q = (2 - 4, -1 - 3) = (-2, -4), entonces usando el punto P=(2,-1), la ecuación sería (x - 2) / -2 = (y + 1) / -4. Usando el punto Q=(4,3), la ecuación sería (x - 4) / -2 = (y - 3) / -4. Por lo tanto, las opciones que presentan un vector director válido y su correspondiente ecuación simétrica son correctas. Opción 0 es correcta con 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ y P. Opción 1 es correcta con 𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ y Q.

Pregunta 5: Un plano paralelo al plano xy tiene una ecuación de la forma z = c.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Si un plano es paralelo al plano xy, su ecuación se representa como z = c, donde c es una constante.