Resumen de Geometría Analítica en Espacio 3D
Geometría Analítica en Espacio 3D: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
Las relaciones métricas entre elementos geométricos en el espacio —distancias y ángulos— son herramientas fundamentales en muchas áreas de la ingeniería y las ciencias. En este material veremos cómo calcular ángulos entre rectas y planos, y cómo medir distancias entre rectas, planos y entre recta y plano. Presentaremos definiciones, fórmulas, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas.
Definición: El ángulo entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ viene dado por $\theta = \arccos\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|;|\vec{v}|}\right)$, donde $0\leq\theta\leq\pi$.
Ángulos
Separamos el estudio de ángulos en tres casos: entre rectas coplanares, entre planos y entre recta y plano.
Ángulo entre rectas coplanares
- Sea la recta $r_1$ con vector director $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ y la recta $r_2$ con vector director $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$, ambas que se intersectan en un punto común.
- El ángulo entre las rectas se obtiene como el ángulo entre sus vectores directores:
$$\angle(r_1,r_2)=\theta=\arccos\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|;|\vec{b}|}\right)$$
- Expansión en componentes:
$$\theta=\arccos\left(\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2};\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\right)$$
- Por convención se informa el menor ángulo entre las rectas (ángulo agudo), es decir $\min(\theta,\pi-\theta)$.
¿Qué significan casos extremos?
- Si $\theta=0$ las rectas son colineales (paralelas con mismo sentido o coincidentes).
- Si $\theta=\pi/2$ las rectas son perpendiculares.
Ángulo entre planos
- Dados dos planos $\pi_1: ax+by+cz+d=0$ y $\pi_2: a'x+b'y+c'z+d'=0$, sus vectores normales son $\vec{n}_1=(a,b,c)$ y $\vec{n}_2=(a',b',c')$.
- El ángulo entre los planos es el ángulo entre sus normales:
$$\angle(\pi_1,\pi_2)=\theta=\arccos\left(\dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|;|\vec{n}_2|}\right)$$
- En componentes:
$$\theta=\arccos\left(\dfrac{aa'+bb'+cc'}{\sqrt{a^2+b^2+c^2};\sqrt{{a'}^2+{b'}^2+{c'}^2}}\right)$$
- Nuevamente se reporta el menor ángulo entre planos: $\min(\theta,\pi-\theta)$.
¿Existe otra manera de hallar el menor ángulo? Si se toma el valor absoluto del coseno, es decir
$$\theta=\arccos\left(\left|\dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|;|\vec{n}_2|}\right|\right)$$
se obtiene directamente el ángulo agudo entre los planos.
- Casos extremos: si $\theta=0$ los planos son paralelos o coincidentes; si $\theta=\pi/2$ los planos son perpendiculares.
Ángulo entre recta y plano
- El ángulo entre una recta con vector director $\vec{u}$ y un plano con normal $\vec{n}$ se define como el complementario del ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{n}$. Si $\phi$ es el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{n}$, entonces el ángulo recta-plano es $\alpha=\pi/2-\phi$.
- Cálculo práctico: si $\phi=\arccos\left(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|;|\vec{n}|}\right)$, entonces
$$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-\arccos\left(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|;|\vec{n}|}\right)=\arcsin\left(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|;|\vec{n}|}\right)$$
Definición práctica: El ángulo entre una recta y un plano mide la inclinación de la recta respecto al plano; si la recta es paralela al plano el ángulo es $0$, si la recta es perpendicular al plano el ángulo es $\pi/2$.
Distancias
Trabajaremos las fórmulas y criterios para distancia entre rectas, entre planos y entre recta y plano.
Distancia entre rectas paralelas
- Si dos rectas paralelas $r$ y $s$ tienen vector director común $\vec{u}$ y puntos $A\in r$, $B\in s$, la distancia entre ellas es la distancia perpendicular entre cualquier punto de una y la otra:
$$\mathrm{dist}(r,s)=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}$$
- Si las rectas se cortan o son coincidentes, la distancia es cero.
Ejemplo práctico (resumen): si $r$ pasa por $P=(1,2,-1)$ con $\vec{d}_1=(-2,1,1)$ y $s$ pasa por $Q=(4,1,1)$ con $\vec{d}_2=(1,0,-3)$, las rectas no son paralelas ni coincidentes, así q
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Distancias y ángulos
Klíčové pojmy: Ángulo entre vectores: $\theta=\arccos\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}\right)$, Ángulo entre rectas = ángulo entre sus directores, Ángulo entre planos = ángulo entre sus normales, Ángulo recta-plano = complemento del ángulo entre director y normal, Reportar siempre el menor ángulo: $\min(\theta,\pi-\theta)$, Distancia rectas paralelas: $\mathrm{dist}=\dfrac{\|\overrightarrow{AB}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$, Distancia planos paralelos: $\mathrm{dist}=\dfrac{|d-d'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, Distancia recta-plano (recta paralela): $\mathrm{dist}=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, Si rectas o planos se cortan o coinciden, la distancia es 0, Usar valor absoluto del coseno para obtener directamente el ángulo agudo entre planos