La Geometría Analítica en Espacio 3D es una rama fundamental de las matemáticas que nos permite describir y analizar objetos geométricos como puntos, rectas y planos utilizando ecuaciones algebraicas. Esta disciplina, desarrollada por matemáticos como René Descartes, une la geometría con el álgebra, transformando el estudio de formas en la resolución de sistemas de ecuaciones. Para los estudiantes, comprender estos conceptos es clave para abordar problemas complejos en ingeniería y otras ciencias.

En esta guía, exploraremos las diversas formas de representar rectas y planos, sus condiciones de paralelismo y perpendicularidad, y cómo calcular distancias y ángulos entre ellos, tanto en el plano bidimensional como en el espacio tridimensional. Prepárate para desmitificar la geometría del espacio y dominar sus ecuaciones.

Conceptos Fundamentales de la Geometría Analítica en Espacio 3D

Antes de sumergirnos en el espacio 3D, es útil repasar cómo se definen las rectas en el plano R². Intuitivamente, dos puntos definen una recta, o bien un punto y un vector director (un vector que fija la dirección de la recta y es distinto del vector nulo).

Ecuación Paramétrica Vectorial de la Recta

La ecuación paramétrica vectorial es una de las formas más básicas de representar una recta. Si tenemos un punto P = (p₁, p₂) en la recta y un vector director u⃗ = (u₁, u₂), y un punto genérico X = (x, y) en la misma, la regla del triángulo para la suma de vectores nos dice:

OX⃗ = OP⃗ + PX⃗

Dado que PX⃗ y u⃗ están en la misma dirección, existe un escalar k tal que PX⃗ = k u⃗. De esto, se obtiene la ecuación paramétrica vectorial de la recta:

OX⃗ = OP⃗ + k u⃗

Donde k es un parámetro que nos permite encontrar cada punto de la recta. En componentes, se expresa como (x, y) = (p₁, p₂) + k (u₁, u₂). Cada valor real de k corresponde a un punto distinto en la recta.

Ejemplo 1a: Recta que pasa por P = (2,3) y tiene u⃗ = (-2, 1).
(x, y) = (2, 3) + k (-2, 1)
Ejemplo 1b: Recta que pasa por P = (-2,3) y Q = (1,4).
Primero, hallamos el vector director PQ⃗ = q - p = (1, 4) - (-2, 3) = (3, 1).
Luego, (x, y) = (-2, 3) + k (3, 1)

Ecuación Paramétrica Escalar de la Recta

Partiendo de la ecuación paramétrica vectorial, podemos desarrollar la igualdad en función de las componentes. Si (x, y) = (p₁, p₂) + k (u₁, u₂), entonces (x, y) = (p₁ + k u₁, p₂ + k u₂). Al igualar componente a componente, obtenemos la ecuación paramétrica escalar (o cartesiana) de la recta en el plano:

r: { x = p₁ + k u₁, y = p₂ + k u₂ } con k ∈ R

Ejemplo 2a: De (x, y) = (2, 3) + k (-2, 1), la ecuación paramétrica escalar es:
{ x = 2 - 2k, y = 3 + k }
Ejemplo 2b: Recta por P = (1, -1) y Q = (0, -3).
Vector director PQ⃗ = (0, -3) - (1, -1) = (-1, -2).
Ecuación paramétrica escalar: { x = 1 - k, y = -1 - 2k }
Ejemplo 3: Dada r: (x, y) = (1, 3) + k (-3, 1)
a) Ecuación paramétrica escalar: { x = 1 - 3k, y = 3 + k }
b) Puntos de la recta: Asignando k=2 obtenemos A = (-5, 5); con k=-2, B = (7, 1).
c) Intersecciones con los ejes:
Con el eje de abscisas (y=0): { x = 1 - 3k, 0 = 3 + k } ⇒ k = -3, x = 10. Punto (10, 0).
Con el eje de ordenadas (x=0): { 0 = 1 - 3k, y = 3 + k } ⇒ k = 1/3, y = 10/3. Punto (0, 10/3).

Ecuación Simétrica de la Recta

La ecuación simétrica se obtiene despejando k de la ecuación paramétrica escalar y usando la propiedad transitiva de la igualdad. Es válida solo si las componentes del vector director (u₁, u₂) son no nulas.

x - p₁ / u₁ = y - p₂ / u₂

Ejemplo 4a: Recta por P = (3,1) con u⃗ = (1, 2).
Ecuación paramétrica escalar: { x = 3 + k, y = 1 + 2k }
Despejando k: x - 3 = k y (y - 1) / 2 = k.
Ecuación simétrica: x - 3 = (y - 1) / 2
Ejemplo 4b: Recta por P = (3,2) y Q = (5,2).
Vector director PQ⃗ = (2, 0). Como u₂ = 0, la ecuación simétrica no es aplicable. La paramétrica escalar sería { x = 3 + 2k, y = 2 }.

Ecuación Implícita y Explícita de la Recta

Desarrollando la ecuación simétrica u₂ (x - p₁) = u₁ (y - p₂), obtenemos u₂ x - u₁ y - u₂ p₁ + u₁ p₂ = 0. Si a = u₂, b = -u₁, y c = -u₂ p₁ + u₁ p₂, llegamos a la ecuación implícita de la recta:

ax + by + c = 0

Despejando y, obtenemos la ecuación explícita de la recta y = mx + d, donde m = -a/b es la pendiente y d = -c/b es la ordenada al origen.

Ejemplo 5: Recta por P = (-1, -4) con u⃗ = (1, -2).
Paramétrica vectorial: (x, y) = (-1, -4) + k (1, -2)
Paramétrica escalar: { x = -1 + k, y = -4 - 2k }
Simétrica: (x + 1) / 1 = (y + 4) / -2
Implícita: -2(x + 1) = y + 4 ⇒ -2x - 2 = y + 4 ⇒ -2x - y - 6 = 0
Explícita: y = -2x - 6

Ecuación de la Recta Conocidos Dos Puntos en R²

Dados P = (x₀, y₀) y Q = (x₁, y₁):

El vector director es PQ⃗ = (x₁ - x₀, y₁ - y₀).
La ecuación paramétrica vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + k (x₁ - x₀, y₁ - y₀).
La ecuación paramétrica escalar: { x = x₀ + k (x₁ - x₀), y = y₀ + k (y₁ - y₀) }.
La ecuación simétrica (despejando k): (x - x₀) / (x₁ - x₀) = (y - y₀) / (y₁ - y₀).

Rectas en el Espacio Tridimensional (R³)

La extensión de la definición de una recta a R³ sigue los mismos principios: se necesita un punto y un vector director. A diferencia de R², en R³ no es posible definir la ecuación de la recta en forma implícita o explícita.

Ecuación Paramétrica Vectorial de la Recta en R³

Si la recta pasa por P = (p₁, p₂, p₃) y es paralela al vector director v⃗ = (v₁, v₂, v₃), un punto genérico X = (x, y, z) satisface:

OX⃗ = OP⃗ + k v⃗

En componentes:

(x, y, z) = (p₁, p₂, p₃) + k (v₁, v₂, v₃) con k ∈ R

Ejemplo 6: Recta por P = (1, 2, 3) y Q = (-1, 0, 2).
Vector director PQ⃗ = (-1 - 1, 0 - 2, 2 - 3) = (-2, -2, -1).
Ecuación: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k (-2, -2, -1)

Ecuación Paramétrica Escalar de la Recta en R³

Desarrollando la ecuación vectorial componente a componente:

{ x = p₁ + k v₁, y = p₂ + k v₂, z = p₃ + k v₃ } con k ∈ R

Ecuación Simétrica de la Recta en R³

Despejando k de las ecuaciones paramétricas escalares (si v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0, v₃ ≠ 0):

(x - p₁) / v₁ = (y - p₂) / v₂ = (z - p₃) / v₃

Ejemplo 7: Recta por P = (1, -1, 2) y Q = (-1, 2, 0).
Vector director PQ⃗ = (-2, 3, -2).
Ecuación paramétrica escalar: { x = 1 - 2k, y = -1 + 3k, z = 2 - 2k }
Ecuación simétrica: (x - 1) / -2 = (y + 1) / 3 = (z - 2) / -2

Planos en R³

Un plano π en R³ se determina por un punto P sobre él y un vector normal n⃗ (no nulo) perpendicular al plano.

Ecuación Vectorial Normal y General del Plano

Para un punto arbitrario X en el plano, el vector PX⃗ = X⃗ - P⃗ pertenece al plano, y por tanto, es perpendicular a n⃗. Así, la ecuación vectorial normal del plano es:

n⃗ ⋅ (X⃗ - P⃗) = 0

Si n⃗ = (a, b, c) y P = (x₀, y₀, z₀), en términos de componentes se convierte en:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Que al desarrollar se obtiene la ecuación general del plano (o cartesiana):

ax + by + cz + d = 0 (donde d = -(ax₀ + by₀ + cz₀))

Nota: Si d = 0, el plano pasa por el origen. Cualquier múltiplo escalar de n⃗ es también un vector normal.
Ejemplo 8: Plano π que contiene P = (6, 0, 1) y tiene n⃗ = (1, 2, 3).
Ecuación normal: (1, 2, 3) ⋅ [(x, y, z) - (6, 0, 1)] = 0
Ecuación general: x + 2y + 3z - (1⋅6 + 2⋅0 + 3⋅1) = 0 ⇒ x + 2y + 3z - 9 = 0

Planos Coordenados

Plano xy: z = 0 (normal k⃗ = (0, 0, 1))
Plano xz: y = 0 (normal j⃗ = (0, 1, 0))
Plano yz: x = 0 (normal i⃗ = (1, 0, 0))

Representación Gráfica de un Plano

Para graficar un plano, se estudian sus intersecciones con los ejes y los planos coordenados (trazas).

Plano paralelo a un plano coordenado:

x = a (paralelo al plano yz)
y = b (paralelo al plano xz)
z = c (paralelo al plano xy)

Plano que interseca a cada eje coordenado (y no pasa por el origen): ax + by + cz + d = 0 con a, b, c, d ≠ 0.

Se calculan los puntos de cruce con los ejes: (-d/a, 0, 0), (0, -d/b, 0), (0, 0, -d/c).
Se grafican estos tres puntos y se unen para formar un triángulo, que representa una porción del plano.
Ejemplo 9: Plano π: 8x + 4y + 2z - 8 = 0.
Intersección eje x: A = (1, 0, 0)
Intersección eje y: B = (0, 2, 0)
Intersección eje z: C = (0, 0, 4)

Plano que pasa por el origen: ax + by + cz = 0.

Se calcula la intersección con cada plano coordenado para obtener tres puntos, por ejemplo: P₀ = (3, -2, 0) (intersección con z=0), P₁ = (0, 5, -3) (con x=0), P₂ = (5, 0, -2) (con y=0). Se eligen dos puntos para formar un paralelogramo.

Ecuación de un Plano que Pasa por Tres Puntos No Alineados

Dados tres puntos no alineados P₁, P₂, P₃:

Se construyen dos vectores paralelos al plano, por ejemplo P₁P₂⃗ y P₁P₃⃗.
El producto vectorial P₁P₂⃗ × P₁P₃⃗ = n⃗ da un vector normal al plano.
La ecuación del plano es n⃗ ⋅ P₁X⃗ = 0 (donde X es un punto genérico).

Ejemplo 11: Plano por P₀ = (1, 1, 1), P₁ = (2, 3, 4), P₂ = (5, 2, 6).
P₀P₁⃗ = (1, 2, 3)
P₀P₂⃗ = (4, 1, 5)
n⃗ = P₀P₁⃗ × P₀P₂⃗ = (7, 7, -7)
Ecuación: (7, 7, -7) ⋅ [(x, y, z) - (1, 1, 1)] = 0 ⇒ 7x + 7y - 7z = 7

Ecuación Paramétrica Vectorial y Escalar del Plano

Un plano también puede definirse por un punto P (vector de posición p⃗) y dos vectores directores u⃗ y v⃗ (no paralelos entre sí y paralelos al plano).

La ecuación paramétrica vectorial del plano es:

X⃗ = p⃗ + s u⃗ + t v⃗ con s, t ∈ R

En componentes, la ecuación paramétrica escalar del plano es:

{ x = x₀ + s u₁ + t v₁, y = y₀ + s u₂ + t v₂, z = z₀ + s u₃ + t v₃ } con s, t ∈ R

Ejemplo 12: Plano del ejemplo 11 con P₀ = (1, 1, 1), P₀P₁⃗ = (1, 2, 3), P₀P₂⃗ = (4, 1, 5).
Vectorial: (x, y, z) = (1, 1, 1) + s (1, 2, 3) + t (4, 1, 5)
Escalar: { x = 1 + s + 4t, y = 1 + 2s + t, z = 1 + 3s + 5t }

Paralelismo y Perpendicularidad en R³

Estudiar el paralelismo y la perpendicularidad es crucial para comprender la disposición de objetos geométricos.

Condiciones entre Rectas

Sean r con director u⃗ y s con director v⃗.

Rectas paralelas (r ⫽ s): Sus vectores directores son paralelos: u⃗ = k v⃗ (donde k ∈ R), o sus componentes homólogas son proporcionales (u₁/v₁ = u₂/v₂ = u₃/v₃).
Rectas perpendiculares (r ⟘ s): Sus vectores directores son perpendiculares: u⃗ ⋅ v⃗ = 0.

Condiciones entre Planos

Sean pl₁ con normal n₁⃗ y pl₂ con normal n₂⃗.

Planos paralelos (pl₁ ⫽ pl₂): Sus vectores normales son paralelos: n₁⃗ = k n₂⃗ (donde k ∈ R).
Planos coincidentes: Son paralelos y tienen un punto en común.
Planos perpendiculares (pl₁ ⟘ pl₂): Sus vectores normales son perpendiculares: n₁⃗ ⋅ n₂⃗ = 0.

Condiciones entre Rectas y Planos

Sea una recta r con director d⃗ y un plano π con normal n⃗.

Recta paralela al plano (r ⫽ π): El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano: d⃗ ⋅ n⃗ = 0.
Recta perpendicular al plano (r ⟘ π): El vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano: d⃗ = k n⃗ (donde k ∈ R).
Ejemplo 13: Ecuación paramétrica vectorial de la recta por M = (2, 3, 1) y perpendicular al plano π: 4x - 6y + z = 3.
El vector normal de π es n⃗ = (4, -6, 1).
Como la recta es perpendicular al plano, su vector director d⃗ es paralelo a n⃗. Podemos tomar d⃗ = n⃗.
Ecuación de la recta: (x, y, z) = (2, 3, 1) + k (4, -6, 1)

Ángulos entre Entes Geométricos

El cálculo de ángulos nos permite medir la

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