Resumen de Extremos de una Función
Extremos de una Función: Aprende Máximos y Mínimos en Cálculo
Introducción
Las aplicaciones de la derivada permiten identificar puntos donde una función alcanza valores más altos o más bajos en un entorno o en todo su dominio. En este material veremos cómo identificar máximos y mínimos, distinguir entre extremos locales y absolutos, y aplicar criterios prácticos para su detección.
Definición: Un extremo local es un punto $a$ del dominio donde $f(a)$ es mayor (máximo) o menor (mínimo) que los valores de $f$ en algún entorno de $a$. Un extremo absoluto es el mayor o menor valor que la función toma en todo el dominio o en un intervalo dado.
Conceptos básicos
Dominio y entornos
- Dominio $D$ de una función $f$ es el conjunto de valores $x$ donde $f$ está definida.
- Un entorno de $a$ es un intervalo abierto que contiene a $a$, por ejemplo $\left(a-\delta,;a+\delta\right)$ con $\delta>0$.
Extremos: tipos
| Tipo | Qué significa | Dónde pueden ocurrir |
|---|---|---|
| Máximo local | $f(a)\ge f(x)$ para todo $x$ en algún entorno de $a$ | Punto interior del dominio donde $f$ tiene cresta local |
| Mínimo local | $f(a)\le f(x)$ para todo $x$ en algún entorno de $a$ | Punto interior del dominio donde $f$ tiene valle local |
| Máximo absoluto | Valor mayor de $f$ en todo $D$ | Puede repetirse en varios puntos |
| Mínimo absoluto | Valor menor de $f$ en todo $D$ | Puede repetirse en varios puntos |
Definición (máximo local): $f(a)$ es máximo local en $I$ si existe entorno $\left(a-\delta,;a+\delta\right)\subset I$ tal que $f(x)\le f(a)$ para todo $x$ en ese entorno.
Definición (mínimo local): $f(a)$ es mínimo local en $I$ si existe entorno $\left(a-\delta,;a+\delta\right)\subset I$ tal que $f(x)\ge f(a)$ para todo $x$ en ese entorno.
Valores críticos
Los candidatos a extremos se localizan entre los llamados valores críticos:
- Puntos del dominio donde $f'(x)=0$.
- Puntos del dominio donde $f'(x)$ no existe.
- En el caso de extremos absolutos en un intervalo cerrado, también considerar los extremos del intervalo.
Procedimiento general para buscar extremos locales:
- Calcular $f'(x)$.
- Determinar valores críticos: soluciones de $f'(x)=0$ y puntos donde $f'(x)$ no existe (pero $x$ debe pertenecer al dominio).
- Aplicar un criterio (ver más abajo) para clasificar cada valor crítico.
Criterios para clasificar extremos locales
1) Criterio por comparación de valores (primera idea)
Si para un valor crítico $c$ y un $h>0$ pequeño se cumple:
- $f(c-h)\le f(c)\ge f(c+h)$ entonces $f(c)$ es máximo local.
- $f(c-h)\ge f(c)\le f(c+h)$ entonces $f(c)$ es mínimo local.
Este criterio es directo: comparar imágenes a izquierda y derecha de $c$ en un pequeño entorno.
2) Criterio del signo de la derivada primera (cambio de monotonicidad)
- Si $f'(x)$ cambia de positivo a negativo al pasar por $c$, entonces $f(c)$ es un máximo local.
- Si $f'(x)$ cambia de negativo a positivo al pasar por $c$, entonces $f(c)$ es un mínimo local.
- Si no hay cambio de signo, no hay extremo (puede ser punto de inflexión horizontal).
Procedimiento práctico: dividir la recta en intervalos tomando los valores críticos y probar el signo de $f'(x)$ en cada intervalo.
3) Criterio de la segunda derivada
Sea $c$ un punto con $f'(c)=0$ y con $f''(c)$ existiendo:
- Si $f''(c)>0$ entonces $f(c)$ es mínimo local (concavidad hacia arriba).
- Si $f''(c)<0$ entonces $f(c)$ es máximo local (concavidad hacia abajo).
- Si $f''(c)=0$ el criterio no decide; hay que usar otros métodos (derivadas de mayor orden o análisis de signos).
Criterio de derivadas sucesivas: si $f^{(n)}(c)\neq 0$ es la primera derivada distinta de cero de orden $n$:
- Si $n$ es par y $f^{(n)}(c)>0$ entonces mínimo local.
- Si $n$ es par y $f^{(n)}(c)<0$ entonces máximo local.
- Si $n$ es impar entonces no hay extremo (punto de inflexión).
Extremos absolutos en intervalos
Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $\left[ a,;b\right]$ el teorema del valor extremo asegura la existencia
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Extremos de funciones
Klíčová slova: Extremos de funciones
Klíčové pojmy: Extremo local: valor mayor o menor en un entorno de $a$, Valores críticos: $f'(x)=0$ o $f'(x)$ no existe (dentro del dominio), Para extremos absolutos en $[a,b]$ evaluar $f$ en valores críticos y en $a$, $b$, Si $f'(x)$ cambia + a - en $c$ hay máximo local, Si $f'(x)$ cambia - a + en $c$ hay mínimo local, Si $f'(c)=0$ y $f''(c)>0$ entonces mínimo local, Si $f'(c)=0$ y $f''(c)<0$ entonces máximo local, Si $f''(c)=0$ usar derivadas sucesivas o análisis de signos, No considerar puntos fuera del dominio como valores críticos, Analizar límites en $\pm\infty$ para extremos absolutos en todo $\mathbb{R}$