Resumen de Extremos de una Función

## Introducción Las aplicaciones de la derivada permiten identificar puntos donde una función alcanza valores más altos o más bajos en un entorno o en todo su dominio. En este material veremos cómo identificar máximos y mínimos, distinguir entre extremos locales y absolutos, y aplicar criterios prácticos para su detección. > **Definición:** Un **extremo local** es un punto $a$ del dominio donde $f(a)$ es mayor (máximo) o menor (mínimo) que los valores de $f$ en algún entorno de $a$. Un **extremo absoluto** es el mayor o menor valor que la función toma en todo el dominio o en un intervalo dado. --- ## Conceptos básicos ### Dominio y entornos - Dominio $D$ de una función $f$ es el conjunto de valores $x$ donde $f$ está definida. - Un entorno de $a$ es un intervalo abierto que contiene a $a$, por ejemplo $\left(a-\delta,\;a+\delta\right)$ con $\delta>0$. ### Extremos: tipos | Tipo | Qué significa | Dónde pueden ocurrir | |---|---:|---| | Máximo local | $f(a)\ge f(x)$ para todo $x$ en algún entorno de $a$ | Punto interior del dominio donde $f$ tiene cresta local | | Mínimo local | $f(a)\le f(x)$ para todo $x$ en algún entorno de $a$ | Punto interior del dominio donde $f$ tiene valle local | | Máximo absoluto | Valor mayor de $f$ en todo $D$ | Puede repetirse en varios puntos | | Mínimo absoluto | Valor menor de $f$ en todo $D$ | Puede repetirse en varios puntos | > **Definición (máximo local):** $f(a)$ es máximo local en $I$ si existe entorno $\left(a-\delta,\;a+\delta\right)\subset I$ tal que $f(x)\le f(a)$ para todo $x$ en ese entorno. > **Definición (mínimo local):** $f(a)$ es mínimo local en $I$ si existe entorno $\left(a-\delta,\;a+\delta\right)\subset I$ tal que $f(x)\ge f(a)$ para todo $x$ en ese entorno. --- ## Valores críticos Los candidatos a extremos se localizan entre los llamados valores críticos: - Puntos del dominio donde $f'(x)=0$. - Puntos del dominio donde $f'(x)$ no existe. - En el caso de extremos absolutos en un intervalo cerrado, también considerar los extremos del intervalo. Procedimiento general para buscar extremos locales: 1. Calcular $f'(x)$. 2. Determinar valores críticos: soluciones de $f'(x)=0$ y puntos donde $f'(x)$ no existe (pero $x$ debe pertenecer al dominio). 3. Aplicar un criterio (ver más abajo) para clasificar cada valor crítico. --- ## Criterios para clasificar extremos locales ### 1) Criterio por comparación de valores (primera idea) Si para un valor crítico $c$ y un $h>0$ pequeño se cumple: - $f(c-h)\le f(c)\ge f(c+h)$ entonces $f(c)$ es máximo local. - $f(c-h)\ge f(c)\le f(c+h)$ entonces $f(c)$ es mínimo local. Este criterio es directo: comparar imágenes a izquierda y derecha de $c$ en un pequeño entorno. ### 2) Criterio del signo de la derivada primera (cambio de monotonicidad) - Si $f'(x)$ cambia de positivo a negativo al pasar por $c$, entonces $f(c)$ es un máximo local. - Si $f'(x)$ cambia de negativo a positivo al pasar por $c$, entonces $f(c)$ es un mínimo local. - Si no hay cambio de signo, no hay extremo (puede ser punto de inflexión horizontal). Procedimiento práctico: dividir la recta en intervalos tomando los valores críticos y probar el signo de $f'(x)$ en cada intervalo. ### 3) Criterio de la segunda derivada Sea $c$ un punto con $f'(c)=0$ y con $f''(c)$ existiendo: - Si $f''(c)>0$ entonces $f(c)$ es mínimo local (concavidad hacia arriba). - Si $f''(c)<0$ entonces $f(c)$ es máximo local (concavidad hacia abajo). - Si $f''(c)=0$ el criterio no decide; hay que usar otros métodos (derivadas de mayor orden o análisis de signos). Criterio de derivadas sucesivas: si $f^{(n)}(c)\neq 0$ es la primera derivada distinta de cero de orden $n$: - Si $n$ es par y $f^{(n)}(c)>0$ entonces mínimo local. - Si $n$ es par y $f^{(n)}(c)<0$ entonces máximo local. - Si $n$ es impar entonces no hay extremo (punto de inflexión). --- ## Extremos absolutos en intervalos Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $\left[ a,\;b\right]$ el teorema del valor extremo asegura la existencia