Resumen de Examen de Admisión: Razonamiento Lógico-Matemático
Examen Admisión: Razonamiento Lógico-Matemático UdeA 2017
Introducción
Bienvenido a este material de estudio de Matemáticas centrado en razonamiento lógico-matemático y resolución de problemas. Aquí encontrarás conceptos clave, estrategias paso a paso, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas para fortalecer tu capacidad de análisis y solución en pruebas y ejercicios tipo competencia.
Definición: El razonamiento lógico-matemático es la habilidad de aplicar principios matemáticos y reglas lógicas para resolver problemas, identificar patrones y justificar soluciones.
Estrategias generales para resolver problemas
- Leer cuidadosamente el enunciado y subrayar datos importantes.
- Identificar el tipo de problema (álgebra, conteo, probabilidad, geometría, lógica verbal, secuencias, etc.).
- Traducir el enunciado a símbolos y ecuaciones en LaTeX cuando corresponde.
- Buscar invariantes, simetrías, o transformar el problema en uno conocido.
- Comprobar resultados con casos pequeños o extremos.
Álgebra y ecuaciones
Pasos para resolver ecuaciones simples
- Simplificar ambos lados: combinar términos semejantes.
- Pasar términos al mismo lado usando operaciones inversas.
- Despejar la variable.
- Verificar la solución en el enunciado.
Definición: Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas y representa una relación que debemos satisfacer.
Ejemplo práctico:
Resolver $2x + 3 = 11$.
$$2x + 3 = 11$$
Restar 3:
$$2x = 8$$
Dividir por 2:
$$x = 4$$
Sistemas y razonamiento con proporciones
- Para relaciones de velocidad y tiempo usar $\text{velocidad} = \dfrac{\text{distancia}}{\text{tiempo}}$.
- Para razones comparativas, expresar ambas cantidades con una variable común y resolver proporciones.
Ejemplo: Si alguien recorre distancia $d$ en tiempo $t$ y otro en tiempo $t'$, la razón de velocidades es $\dfrac{d/t}{d/t'} = \dfrac{t'}{t}$.
Conteo y combinatoria
Principios básicos
- Regla del producto: Si una tarea tiene $m$ opciones y otra $n$, el total es $m\cdot n$.
- Permutaciones sin repetición: $P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$.
- Combinaciones: $C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
Definición: Una permutación ordena elementos; una combinación selecciona sin importar el orden.
Ejemplo práctico:
Formar números de 3 cifras con dígitos distintos del conjunto ${1,2,3,4}$. Cantidad: $P(4,3)=\dfrac{4!}{1!}=24$.
Tabla comparativa: permutación vs combinación
| Concepto | Fórmula | Ejemplo (n=5,k=2) |
|---|---|---|
| Permutación | $P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ | $P(5,2)=20$ |
| Combinación | $C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ | $C(5,2)=10$ |
Probabilidad básica
- Si todos los resultados son igualmente probables, $P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$.
- Eventos independientes multiplican probabilidades: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Ejemplo: Probabilidad de sacar una carta roja de una baraja estándar: $\dfrac{26}{52}=\dfrac{1}{2}$.
Series y secuencias
- Secuencia aritmética: $a_n=a_1+(n-1)d$.
- Secuencia geométrica: $a_n=a_1 r^{n-1}$.
- Secuencias definidas por recurrencia: usar sustituciones o métodos cerrados cuando sea posible.
Ejemplo práctico de recurrencia definida por suma de anteriores:
Si cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores y $a_2=b$ conocido, puedes generar términos iterativamente y buscar patrón.
Geometría plana
- Área de figuras básicas: triángulo $A=\dfrac{1}{2}bh$, rectángulo $A=bh$, círculo $A=\pi r^2$.
- Propiedades de triángulos equiláteros: lado $a$, altura $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$, área $A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
Definición: Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados iguales; su área puede calcularse como $A=\dfrac{d_1 d_2}{2}$ si $d_1,d_2$ son las diagonales.
Ejemplo práctico:
Área de un triángulo equilátero de
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Matemáticas - Razonamiento
Klíčové pojmy: Traducir enunciados a símbolos y ecuaciones en LaTeX, Usar dibujo y casos extremos para verificar soluciones, Aplicar regla del producto y permutaciones para conteos, Usar probabilidades como razón de casos favorables a totales, Resolver ecuaciones aislando la variable paso a paso, Identificar invariantes y simetrías en problemas repetitivos, Calcular áreas con fórmulas estándar y propiedades geométricas, Traducir implicaciones lógicas y usar la contrapositiva, Aplicar principio del casillero para problemas de inclusión, Generar términos de secuencias por recurrencia y buscar patrón