Zusammenfassung von Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

## Einführung Diskrete Verteilungen beschreiben Wahrscheinlichkeiten für Zufallsvariablen, die nur abzählbar viele Werte annehmen können, z.B. Anzahl von Erfolgen, Anzahl von Ereignissen in einem Zeitraum oder Treffer in Ziehungen ohne Zurücklegen. In diesem Material behandeln wir Binomial-, Poisson-, Hypergeometrische- und Multinomialverteilung sowie Grenzwert- und Approximationsbeziehungen. > **Definition:** Eine diskrete Zufallsvariable $X$ ist eine Diskrete Verteilung, wenn $X$ nur abzählbar viele Werte annimmt und eine Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x)=P(X=x)$ existiert, sodass $\sum_x f(x)=1$. ## Binomialverteilung ### Modell und Parameter - Situation: $n$ unabhängige Bernoulli-Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit $\theta$. - Notation: $X \sim \mathrm{Bin}(n,\theta)$. - Wahrscheinlichkeitsfunktion: $$ P(X=x)=\binom{n}{x}\,\theta^{x}\,(1-\theta)^{n-x}\quad\text{für }x\in\{0,1,\dots,n\}. $$ ### Eigenschaften - Erwartungswert: $E(X)=n\theta$. - Varianz: $\operatorname{Var}(X)=n\theta(1-\theta)$. ### Beispiel - $n=15$, $\theta=0{,}25$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann grafisch dargestellt werden. ## Poissonverteilung ### Modell und Parameter - Modelliert die Anzahl seltener Ereignisse in einem festen Zeit- oder Raumintervall mit Erwartungswert $\mu>0$. - Notation: $X \sim \mathrm{Pois}(\mu)$. - Wahrscheinlichkeitsfunktion: $$ f_{\mathrm{P}}(x\;|\;\mu)=\begin{cases} \dfrac{\mu^{x}}{x!}e^{-\mu} &\text{für }x\in\{0,1,2,\ldots\},\\[4pt] 0 &\text{sonst.} \end{cases} $$ > **Definition:** Die Poissonverteilung mit Parameter $\mu$ hat die PMF $f_{\mathrm{P}}(x|\mu)=\dfrac{\mu^{x}}{x!}e^{-\mu}$ für $x\in\mathbb{N}_0$. ### Eigenschaften - Erwartungswert: $E(X)=\mu$. - Varianz: $\operatorname{Var}(X)=\mu$. - Verteilungsfunktion: $$ F_{\mathrm{P}}(x\;|\;\mu)=\sum_{v=0}^{\lfloor x\rfloor}\dfrac{\mu^{v}}{v!}e^{-\mu}. $$ ### Beispiel - Anzahl Autos in 30 Sekunden, Erwartungswert $\mu=5$. Wahrscheinlichkeit für genau 4 Autos: $$ P(X=4)=\dfrac{5^{4}}{4!}e^{-5}\approx 0{,}1755. $$ ### Fun fact: Wusstest du, dass die Poissonverteilung bei vielen seltenen, unabhängigen Ereignissen entsteht? Sie ist der Grenzwert der Binomialverteilung, wenn $n\to\infty$ und $n\theta\to\mu$. Fun fact: Wusstest du, dass die Poissonverteilung in der Physik, Telekommunikation und Biologie weit verbreitet ist? ## Grenzwert: Binomial \to Poisson Unter den Bedingungen $$ n\to\infty,\quad n\theta\to\mu\in\mathbb{R}_{+} $$ geht die Binomialverteilung in die Poissonverteilung über. Kurzbegründung: $$ \lim_{n\to\infty} \binom{n}{x}\theta^{x}(1-\theta)^{n-x}=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-x)!\,x!}\left(\frac{\mu}{n}\right)^{x}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-x} $$ Die Faktoren vereinfachen zu $$ \frac{\mu^{x}}{x!}e^{-\mu} $$ und liefern die Poisson-Formel. ## Hypergeometrische Verteilung ### Modell und Notation - Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population von Größe $N$, mit $M$ Erfolgsobjekten, $N-M$ Nicht-Erfolgsobjekten, $n$ Ziehungen. - Notation: $X\sim\mathrm{Hypergeo}(N,M,n)$. - Wahrscheinlichkeitsfunktion: $$ P(X=x)=\dfrac{\binom{M}{x}\,\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}\quad\text{für passende }x. $$ ### Grenzwert: Hypergeometrisch \to Binomial Wenn $$ N\to\infty,\quad \frac{M}{N}\to\theta\in[0,1], $$ dann gilt $$ \lim_{N\to\infty}P(X=x)=\binom{n}{x}\theta^{x}(1-\theta)^{n-x}, $$ d.h. die Hypergeometrische Verteilung nähert sich der Binomialverteilung an. ### Anwendung - Modellierung kleiner Stichproben ohne Zurücklegen, z.B. Qualitätskontrolle bei beschränkter Losgröße. ## Multinomialverteilung ### Modell und PMF - Allgemein: $n$ unabhängige Versuche mit $k$ möglichen Ausgängen pro Versuch und Wahrscheinlichkeiten $\theta_1,\dots,\theta_k$ mit $\sum_{j=1}^{k}\theta_j=1$. - Zufallsvektor $X=(X_1,\dots,X_k)$ mit $\sum_{j=1}^{k}X_j=n$ zählt die Häufigkeiten der Ausgänge. - PMF: $$ f_{\mathrm{M}}(x_1,\dots,x_k\;|\;n;\theta_1,\dots,\theta_k)=\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}\theta_1^{x_1}\cdots\theta_k^{x_k}. $$ > **Definition:** Die Multi