Karteikarten zu Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Poisson & Multinomial
Tippen zum Umdrehen · Wischen zur Navigation
Diskrete Verteilungen
29 Karten
Karte 1
Frage: Was beschreibt die Multinomialverteilung in Worten (bei n unabhängigen Versuchen)?
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mit k möglichen Ausgängen und festen Wahrscheinlichkeiten θ1,…,θk genau die Häufigkeiten x1,…,xk
Karte 2
Frage: Welche Parameter braucht die Multinomialverteilung?
Antwort: Anzahl der Versuche n, Anzahl der Kategorien k und die Kategorienwahrscheinlichkeiten θ1,…,θk sowie die beobachteten Häufigkeiten x1,…,xk (mit Summe x
Karte 3
Frage: Gib ein konkretes Beispiel für die Multinomialverteilung (Urnenmodell) und nenne die Wahrscheinlichkeiten.
Antwort: Urne mit 10 Kugeln: 4 rot (θ1=0,4), 3 blau (θ2=0,3), 3 schwarz (θ3=0,3). Ziehung mit Zurücklegen von n=6 Kugeln; z.B. Wahrscheinlichkeit für 2 rot, 2
Karte 4
Frage: Wann nähert sich die hypergeometrische Verteilung der Binomialverteilung? (Grenzwertbedingungen)
Antwort: Wenn N→∞ und M/N→θ∈[0,1], dann konvergiert die hypergeometrische Verteilung gegen die Binomialverteilung B(n,θ).
Karte 5
Frage: Leite kurz das Grenzwertresultat der hypergeometrischen Verteilung zu Binomialformel (Ergebnis ohne vollständige Rechnung).
Antwort: Unter N→∞ mit M/N→θ gilt lim W(X=x)=C(n,x)·θ^x·(1−θ)^{n−x}, also die Binomialwahrscheinlichkeit.
Karte 6
Frage: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, bei Ziehen ohne Zurücklegen aus einer großen Population zwei rote Kugeln zu ziehen (numerisches Beispiel)?
Antwort: Beispiel: 60% rot, 40% grau. Für N=100, M=60, n=2: W(X=2)=60/100·59/99 = 0,6·0,596 ≈ 0,36.
Karte 7
Frage: Wie unterscheidet sich das Ergebnis beim Ziehen ohne Zurücklegen bei kleinem und großem N (numerisches Vergleichsbeispiel)?
Antwort: Bei kleinem N (z.B. 5 mit 3 roten) ist W(X=2)=3/5·2/4=0,3. Bei großem N (100 mit 60 roten) ist W(X=2)≈0,36 — mit wachsendem N nähert sich der Wert dem
Karte 8
Frage: Welche Heuristiken werden für gute Approximationen zwischen diskreten Verteilungen angegeben?
Antwort: Hypergeometrisch → Binomial: n/N < 0.05 (kleine Stichprobe). Binomial → Poisson: n > 10 und θ < 0.05 (viele Versuche, geringe Erfolgswahrscheinlichkei
Karte 9
Frage: Nenne eine praktische Faustregel, wann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung approximiert werden kann.
Antwort: Wenn die Anzahl der Versuche groß (n>10) und die Erfolgswahrscheinlichkeit klein (θ<0,05), gilt die Approximation Binomial→Poisson gut.
Karte 10
Frage: Was ist die Poissonverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion)?
Antwort: f_P(x|μ)= { μ^x / x! e^{−μ} für x∈{0,1,2,...}, sonst 0.