Podcast über Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Kapitoly

Von Binomial zu Poisson

Die Poisson-Verteilung erklärt

Die eleganten Eigenschaften von Poisson

Wann darf man annähern?

Mehr als zwei Optionen: Die Multinomialverteilung

Zusammenfassung und Ausblick

Přepis

Tim: Die meisten Leute denken, bei unendlich vielen Versuchen wird alles unberechenbar und chaotisch. Aber was, wenn ich dir sage, dass genau das Gegenteil der Fall ist? Dass in der Unendlichkeit eine wunderschöne, einfache Ordnung entsteht?

Mia: Das klingt philosophisch, Tim, aber in der Statistik ist das tatsächlich so. Aus etwas Kompliziertem wie der Binomialverteilung wird unter bestimmten Bedingungen etwas viel Eleganteres.

Tim: Und genau darüber sprechen wir heute. Das ist der Studyfi Podcast.

Mia: Genau. Wir schauen uns heute diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen an. Und wir starten mit einem coolen Übergang: dem Grenzwert der Binomialverteilung.

Tim: Uff, Grenzwert klingt schon wieder nach komplizierter Mathe. Wofür brauchen wir das?

Mia: Stell dir ein Szenario vor. Du beobachtest etwas sehr oft, also die Anzahl der Versuche n geht gegen unendlich. Gleichzeitig ist die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch, Theta, sehr klein.

Tim: Okay, wie zum Beispiel... die Wahrscheinlichkeit, einen seltenen Vogel in einem riesigen Wald zu sichten, wenn ich tausende Male schaue?

Mia: Perfektes Beispiel! Die Anzahl der Versuche n ist riesig. Die Erfolgswahrscheinlichkeit Theta ist winzig. Der Clou ist: Das Produkt aus beiden, also n mal Theta, bleibt eine konstante, überschaubare Zahl. Diese Zahl nennen wir µ.

Tim: Und µ ist dann quasi die erwartete Anzahl an Sichtungen, richtig?

Mia: Exakt! Und wenn diese Bedingungen erfüllt sind – n riesig, Theta winzig, n mal Theta konstant – dann passiert etwas Magisches. Die komplizierte Binomialverteilung verwandelt sich in die viel einfachere Poisson-Verteilung.

Tim: Poisson-Verteilung. Klingt irgendwie... französisch. Und fischig.

Mia: Stimmt, sie ist nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt. Und sie ist super nützlich! Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeitraum oder Raum, wenn diese Ereignisse selten und unabhängig voneinander sind.

Tim: Also nicht nur seltene Vögel, sondern auch... Anrufe in einem Callcenter pro Minute? Oder Druckfehler pro Seite in einem Buch?

Mia: Genau die! Die Formel sieht erstmal wild aus: Die Wahrscheinlichkeit für x Ereignisse ist µ hoch x, geteilt durch x-Fakultät, und das Ganze mal e hoch minus µ.

Tim: Okay, das klingt schon etwas abschreckend. Lass uns das mal an einem Beispiel durchgehen.

Mia: Unbedingt. Denk an den Warnowtunnel in Rostock. Nehmen wir an, wir erwarten im Schnitt, dass in 30 Sekunden 5 Autos durchfahren. Unser µ ist also 5.

Tim: Und jetzt will ich wissen: Wie wahrscheinlich ist es, dass in den nächsten 30 Sekunden genau 4 Autos durchfahren?

Mia: Perfekte Frage für die Poisson-Verteilung. Wir setzen in die Formel ein: x ist 4 und µ ist 5. Also 5 hoch 4, geteilt durch 4-Fakultät, mal e hoch minus 5.

Tim: Moment, ich tippe... da kommt ungefähr 0,1755 raus. Also eine Wahrscheinlichkeit von circa 17,5 Prozent?

Mia: Exakt! So einfach ist das. Du brauchst nur die erwartete Anzahl µ, und schon kannst du die Wahrscheinlichkeit für jede beliebige Anzahl von Ereignissen berechnen.

Tim: Was mir auffällt: Man braucht nur diesen einen Parameter, µ. Bei der Binomialverteilung waren es immer zwei, n und Theta.

Mia: Richtig! Das macht die Poisson-Verteilung so elegant. Und es wird noch besser. Bist du bereit für eine wirklich coole Eigenschaft?

Tim: Ich bin ganz Ohr!

Mia: Bei der Poisson-Verteilung sind der Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X) identisch. Beide sind einfach µ.

Tim: Moment, was? Das heißt, wenn im Schnitt 5 Autos erwartet werden, ist nicht nur der Erwartungswert 5, sondern auch die Varianz? Das ist ja super praktisch!

Mia: Ja, oder? Keine komplizierten Formeln mehr für die Varianz. Das vereinfacht vieles. Schauen wir uns mal die Graphen an. Bei einem kleinen µ, sagen wir µ gleich 1, ist die Verteilung stark nach links verschoben. Die wahrscheinlichste Anzahl an Ereignissen ist 0 oder 1.

Tim: Logisch. Wenn man nur ein Ereignis erwartet, sind null oder eins sehr wahrscheinlich.

Mia: Genau. Erhöhen wir µ aber auf 5, verschiebt sich der Gipfel der Verteilung nach rechts zur 5 und die Kurve wird breiter und symmetrischer. Das passt ja auch zur höheren Varianz.

Tim: Wir haben ja gesagt, die Poisson-Verteilung ist ein Grenzwert der Binomialverteilung. Aber im echten Leben ist n ja nie wirklich unendlich. Wann darf ich denn in der Klausur die Binomial- durch die Poisson-Verteilung annähern?

Mia: Sehr wichtige Frage! Dafür gibt es Faustregeln. Man sagt, die Approximation ist gut genug, wenn n größer als 10 ist und die Erfolgswahrscheinlichkeit Theta kleiner als 0,05, also 5 Prozent.

Tim: Also viele Versuche und eine geringe Erfolgschance. Das ist die Kernidee.

Mia: Genau. Und es gibt noch eine andere wichtige Annäherung: die von der hypergeometrischen zur Binomialverteilung.

Tim: Oh ja, der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen! Das vergesse ich immer.

Mia: Denk an eine Urne. Die hypergeometrische Verteilung ist für das Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich bei jedem Zug.

Tim: Richtig, weil ja eine Kugel fehlt. Die Binomialverteilung ist für das Ziehen mit Zurücklegen, da bleiben die Wahrscheinlichkeiten immer gleich.

Mia: Exakt. Aber jetzt stell dir eine riesige Urne vor. Eine Million Kugeln! Ob du da eine Kugel zurücklegst oder nicht, ändert die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Zug kaum noch.

Tim: Ah, verstehe! Wenn die Grundgesamtheit, also die Anzahl aller Kugeln N, sehr groß ist im Vergleich zur Stichprobe n, dann verhält sich das Ziehen ohne Zurücklegen fast wie das Ziehen mit Zurücklegen.

Mia: Genau das ist der Punkt! Die Faustregel hier ist: Wenn die Stichprobe n weniger als 5 Prozent der Gesamtmenge N ausmacht, also n geteilt durch N kleiner als 0,05 ist, dann kannst du die kompliziertere hypergeometrische Verteilung super durch die Binomialverteilung annähern.

Tim: Okay, Binomialverteilung ist super für Ja/Nein-Fragen. Erfolg oder Misserfolg. Kopf oder Zahl. Aber was ist, wenn es mehr als zwei mögliche Ausgänge gibt? So wie im echten Leben.

Mia: Da kommt die große Schwester der Binomialverteilung ins Spiel: die Multinomialverteilung!

Tim: Multinomial... also für viele Ergebnisse?

Mia: Genau. Stell dir eine Wahl vor. Es gibt nicht nur zwei Kandidaten, sondern vielleicht fünf. Jeder Wähler kann sich für einen von fünf entscheiden. Die Binomialverteilung kann das nicht abbilden.

Tim: Leuchtet ein. Wie funktioniert das dann?

Mia: Nehmen wir das Beispiel der Vorwahl 2017 in Frankreich. Wir haben 5 Kandidaten-Gruppen mit unterschiedlichen Stimmanteilen. Sagen wir, Macron hat 24%, Le Pen 21% und so weiter. Zusammen ergibt das 100%.

Tim: Okay.

Mia: Jetzt befragen wir 20 Leute, also n gleich 20. Und wir wollen wissen: Wie wahrscheinlich ist es, dass genau 5 für Macron stimmen, 4 für Le Pen, 4 für Fillon, 4 für Mélenchon und 3 für den Rest?

Tim: Puh, das klingt kompliziert.

Mia: Ist es aber gar nicht, wenn man es zerlegt. Die Formel hat zwei Teile. Der erste Teil ist der Multinomialkoeffizient. Der zählt, auf wie viele verschiedene Weisen du deine 20 Leute auf diese fünf Gruppen aufteilen kannst.

Tim: Das ist quasi die Erweiterung vom Binomialkoeffizienten „n über k“?

Mia: Perfekt erkannt! Statt „n über x“ rechnest du hier „n Fakultät geteilt durch x1-Fakultät mal x2-Fakultät mal...“ und so weiter für alle Gruppen.

Tim: Und der zweite Teil der Formel?

Mia: Der zweite Teil ist die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Pfad. Also die Wahrscheinlichkeit für Macron hoch 5, mal die für Le Pen hoch 4, und so weiter. Du multiplizierst einfach die Anzahl der Wege mit der Wahrscheinlichkeit eines Weges.

Tim: Das ergibt Sinn! Man berechnet, wie wahrscheinlich eine bestimmte Kombination ist, und multipliziert das damit, wie oft diese Kombination überhaupt vorkommen kann. Das ist ja eigentlich total logisch!

Mia: Siehst du? Für das Wahlbeispiel kommt dann eine winzige Wahrscheinlichkeit von etwa 0,3 Prozent raus. Das ist auch zu erwarten, weil es ja nur eine von unzähligen möglichen Stimmenverteilungen ist.

Tim: Okay, fassen wir mal zusammen. Wir haben heute eine ganze Familie von Verteilungen kennengelernt.

Mia: Das haben wir! Wir haben gesehen, wie sich die Binomialverteilung unter bestimmten Bedingungen in die elegante Poisson-Verteilung verwandelt, die super für seltene Ereignisse ist.

Tim: Und wir haben gelernt, wann wir Verteilungen annähern dürfen, um uns das Rechnen zu erleichtern. Hypergeometrisch zu Binomial, wenn die Stichprobe im Vergleich zur Gesamtmenge klein ist.

Mia: Genau. Und zum Schluss haben wir die Binomialverteilung aufgestockt zur Multinomialverteilung, für Situationen mit mehr als zwei möglichen Ausgängen – wie bei Wahlen oder beim Würfeln.

Tim: Eine Menge Stoff, aber die Zusammenhänge sind jetzt viel klarer. Es ist wie ein Baukasten, und für jede Situation gibt es das passende Werkzeug.

Mia: Das ist die perfekte Analogie, Tim. Und wenn man weiß, welches Werkzeug man wann benutzt, ist die Statistik gar nicht mehr so einschüchternd.

Tim: Vielen Dank, Mia! Das war super hilfreich. Und an euch da draußen: Bleibt neugierig! Bis zum nächsten Mal.

Mia: Tschüss!