Test na Základné vzorce a vety z kalkulu

Otázka 1: Taylorov polynóm pre funkciu sin x obsahuje člen s mocninou x^2.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Taylorov polynóm pre sin x je uvedený ako x - (x^3)/3! + ... + (-1)^(n - 1) * (x^(2n - 1))/(2n - 1)! + o (x^2n), čo znamená, že obsahuje iba nepárne mocniny premennej x. Preto člen s mocninou x^2 nie je jeho súčasťou.

Otázka 2: Taylorov polynóm pre funkciu $\cos x$ začína členom $1 - \frac {x ^ {2}}{2 !}$.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Z poskytnutých materiálov vyplýva, že Taylorov polynóm pre $\cos x$ je daný ako $1 - \frac {x ^ {2}}{2 !} + \dots + (- 1) ^ {n} \frac {x ^ {2 n}}{(2 n) !} + o (x ^ {2 n})$. Prvé dva členy sú teda $1$ a $- \frac {x ^ {2}}{2 !}$.

Otázka 3: Aká je hodnota limity $\lim _ {x \to 0} x \operatorname {ctg} x$?

A. 0

B. 1

C. $\infty$

D. limit neexistuje

Vysvetlenie: Daná limita je neurčitý výraz typu $0 \cdot (\pm \infty)$, pretože pre $x \to 0$ sa $x \to 0$ a $\operatorname {ctg} x \to \pm \infty$. Podľa študijných materiálov môžeme tento typ limity prepísať ako $\lim _ {x \to a} \frac {f}{\frac {1}{g}}$. V našom prípade to bude $\lim _ {x \to 0} \frac {x}{\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}$. Vieme, že $\frac {1}{\operatorname {ctg} x} = \operatorname {tg} x$. Teda, limita sa prepíše na $\lim _ {x \to 0} \frac {x}{\operatorname {tg} x}$. Zo študijných materiálov poznáme základnú limitu $\lim _ {x \to 0} \frac {\operatorname {tg} x}{x} = 1$. Z toho vyplýva, že $\lim _ {x \to 0} \frac {x}{\operatorname {tg} x} = \frac {1}{\lim _ {x \to 0} \frac {\operatorname {tg} x}{x}} = \frac {1}{1} = 1$.

Otázka 4: Ktorý z nasledujúcich výrazov správne reprezentuje Taylorov polynóm pre funkciu $\frac{1}{1 - x}$?

A. $1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$

B. $1 - x + x^2 - \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$

C. $x - \frac{x^2}{2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$

D. $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov je Taylorov polynóm pre funkciu $\frac{1}{1 - x}$ daný vzorcom $1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$.

Otázka 5: Integrál funkcie typu $\frac {A}{x - a}$ pre $n=1$ je možné vypočítať ako $A \cdot \ln | x - a | + C$.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov pre integrovanie racionálnych funkcií platí: ak n = 1, potom $\int \frac {A}{x - a} d x = A \cdot \ln | x - a | + C$.