Zhrnutie na Základné vzorce a vety z kalkulu

## Úvod Tento materiál pokrýva základné trigonometrické identity a dôležité limity, ktoré študent potrebuje ovládať pri riešení rovníc, úpravách výrazov a pri analýze funkcií. Materiál je zostavený tak, aby bol vhodný pre samostatné štúdium pre Not attending študenta: rozkladá zložité vzťahy na jasné kroky, obsahuje príklady a praktické poznámky. > **Definícia:** Trigonometrické identity sú algebraické vzťahy medzi trigonometrickými funkciami, ktoré platia pre všetky hodnoty argumentov, kde sú funkcie definované. Limity popisujú správanie funkcií pri priblížení argumentu k určitej hodnote. ## Základné vzorce súčtu a rozdielu uhlov ### Identita pre sínus a kosínus $$\sin\left(x \pm y\right) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$ $$\cos\left(x \pm y\right) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$$ Praktické použitie: rozkladanie sínusu alebo kosínusu sumy uhlov na súčin funkcií, užitočné pri integráloch, diferenciáloch a pri riešení trigonometrických rovníc. ### Dvojité uhly $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$ $$\cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$$ Alternatívne zápisy pomocou jednej funkcie: $$\cos 2x = 2\cos^{2} x - 1$$ $$\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$$ > **Tip:** Pri riešení rovníc často prepínajte medzi týmito tvarmi podľa toho, či chcete vyjadriť výraz pomocou $\sin$ alebo $\cos$. ## Súčet a rozdiel sínusov a kosínusov (transformácie na súčiny) $$\sin x \pm \sin y = 2\sin\left(\frac{x \pm y}{2}\right)\cos\left(\frac{x \mp y}{2}\right)$$ $$\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$ $$\cos x - \cos y = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$$ Použitie: užitočné pri zjednodušovaní výrazov, dokazovaní symetrií a pri prechode medzi súčtami a súčinmi (napr. pri numerickom vyhodnocovaní alebo riešení rovníc). ## Hodnoty inverzných funkcií v trigonometrických funkcích $$\sin\left(\arccos x\right) = \sqrt{1 - x^{2}} \quad \sin\left(\arctan x\right) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$ $$\cos\left(\arcsin x\right) = \sqrt{1 - x^{2}} \quad \cos\left(\arctan x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$ Poznámka: znamienka pred odmocninou závisia na kvadrante výsledného uhla; uvedené vzťahy platia pri štandardných obmedzeniach inverzných funkcií (napr. $\arccos x \in [0,\pi]$, $\arcsin x \in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$, $\arctan x \in (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$). ## Pythagorovské identita a tangentové vzťahy $$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$$ $$1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$$ Tangentová identita pre dvojnásobný uhol: $$\tan 2x = 2\,\frac{\tan x}{1 - \tan^{2} x}$$ Polovičný tangens (Weierstrassova substitúcia): $$\tan\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$$ Použitie: tieto vzťahy sú kľúčové pri úprave výrazov, napr. pri integráloch, pri dokazovaní identity alebo pri riešení trigonometrických rovníc. ## Identické premeny pre štvorce sínusu a kosínu $$\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \quad \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$ $$1 + \cos x = 2\cos^{2}\frac{x}{2} \quad 1 - \cos x = 2\sin^{2}\frac{x}{2}$$ Použitie: pri integráloch a pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich štvorce trigonometrických funkcií. ## Hyperbolické funkcie (základ) $$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \quad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$ Krátka poznámka: hyperbolické funkcie sa často objavujú v riešeniach diferenciálnych rovníc či pri popise tvarov visiacich lánov (catenary). ## Dôležité limity Seznam kľúčových limit, často používaných pri výpočte derivácií a pri odhadoch správania funkcií pri malých hodnotách argumentu: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2} \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$ $$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$ > **Definícia:** Limitou funkcie $f$ pri bode $a$ rozumieme hodnotu, k