# Uhly v kružnici: Základné pojmy a vzťahy Kružnica je jedným z najzákladnejších geometrických útvarov, s ktorými sa stretávame nielen v matematike, ale aj v každodennom živote. Jej vlastnosti a vzťahy medzi jej prvkami sú kľúčové pre pochopenie mnohých javov, od pohybu planét až po dizajn architektonických štruktúr. V tejto študijnej sekcii sa zameriame na dva veľmi dôležité typy uhlov spojených s kružnicou: **stredový uhol** a **obvodový uhol**. Pochopenie ich definícií a vzájomných vzťahov je nevyhnutné pre riešenie úloh z planimetrie a pre ďalšie štúdium geometrie. Práve vzájomný vzťah medzi stredovým a obvodovým uhlom je jedným z pilierov geometrie kružnice. ## Stredový uhol > **Stredový uhol** je uhol, ktorého **vrchol leží v strede kružnice** a jeho ramená prechádzajú dvoma bodmi na kružnici. Tieto dva body na kružnici určujú **kružnicový oblúk**. Stredový uhol je teda uhol prislúchajúci k danému kružnicovému oblúku. Jeho veľkosť sa meria v stupňoch ($$circ$$) alebo radiánoch. Ak označíme stred kružnice ako $S$ a body na kružnici ako $A$ a $B$, potom stredový uhol je uhol $ASB$. Jeho veľkosť je priamo úmerná dĺžke oblúka $AB$. * Ak je oblúk polkružnica, stredový uhol je $$180^circ$$. * Ak je oblúk celá kružnica, stredový uhol je $$360^circ$$. ## Obvodový uhol > **Obvodový uhol** je uhol, ktorého **vrchol leží na kružnici** a jeho ramená prechádzajú dvoma ďalšími bodmi na kružnici. Tieto dva body na kružnici, spolu s vrcholom obvodového uhla, tvoria trojuholník vpísaný do kružnice. Obvodový uhol, podobne ako stredový uhol, prislúcha k určitému kružnicovému oblúku. Ak sú body $A$ a $B$ na kružnici a bod $C$ je vrchol obvodového uhla ležiaci na kružnici, potom obvodový uhol je uhol $ACB$. Dôležité je, že body $A$, $B$ a $C$ musia byť rôzne. ### Kľúčové rozdiely medzi stredovým a obvodovým uhlom | Vlastnosť | Stredový uhol | Obvodový uhol | | :----------------- | :----------------------------- | :------------------------------ | | **Vrchol** | Stred kružnice ($S$) | Na kružnici ($C$) | | **Ramená** | Polomery kružnice | Tetivy kružnice | | **Prislúcha k** | Kružnicovému oblúku | Kružnicovému oblúku | ## Vzťah medzi stredovým a obvodovým uhlom Kľúčovou vetou v euklidovskej geometrii kružnice je veta o vzťahu medzi stredovým a obvodovým uhlom. Táto veta hovorí, že **obvodový uhol prislúchajúci k danému kružnicovému oblúku je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku**. Matematicky to môžeme zapísať ako $$eta = \frac{\alpha}{2}$$, kde $$\alpha$$ je veľkosť stredového uhla a $$\beta$$ je veľkosť obvodového uhla. Tento vzťah platí bez ohľadu na to, kde na kružnici leží vrchol obvodového uhla, pokiaľ prislúcha k rovnakému oblúku ako stredový uhol. Did you know that Thalesova veta, ktorá hovorí, že každý obvodový uhol nad priemerom kružnice je pravý (rovný $$90^circ$$), je špeciálnym prípadom vzťahu medzi stredovým a obvodovým uhlom? Stredový uhol nad priemerom je $$180^circ$$, a teda obvodový uhol musí byť jeho polovica, teda $$90^circ$$! ### Dôkaz vzťahu Existujú tri základné prípady, ktoré dokazujú túto vetu: 1. **Stred kružnice leží na jednom ramene obvodového uhla:** * Predpokladajme, že bod $C$ je vrchol obvodového uhla $ACB$ a stred $S$ leží na ramene $AC$. Trojuholník $CSB$ je rovnoramenný, pretože $CS$ a $SB$ sú polomery kružnice. * Uhol $CSB$ je stredový uhol $$\alpha$$. Uhol $SCB$ ($$\beta$$) a uhol $SBC$ sú zhodné (uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka). * Uhol $ASB$ je vonkajší uhol trojuholníka $CSB$, a teda sa rovná súčtu vnútorných protiľahlých uhlov, t.j., $ASB = SCB + SBC = 2\beta$. * Preto $$\alpha = 2\beta$$, alebo $$eta = \frac{\alpha}{2}$$. 2. **Stred kružnice leží vo vnútri obvodového uhla:** * Nakreslime priamku z vrcholu $C$ cez stred $S$ až k bodu $D$ na kružnici. Tým rozdelíme obvodo