Zhrnutie na Štatistické metódy a analýza dát

## Úvod V tejto študijnej pomôcke sa venujeme aplikácii základných nástrojov ekonometrii na praktický prípad závislosti výšky tržieb z vstupného filmov od ich výrobných nákladov. Cieľom je pochopiť, ako odhadnúť lineárny regresný model, interpretovať jeho parametre a vyhodnotiť kvalitu modelu pomocou koeficienta determinácie. ### Čo budeme riešiť - výpočet kovariancie medzi výrobnými nákladmi a tržbami - výpočet výberového koeficienta korelácie - odhad parametrov jednoduchého lineárneho regresného modelu - interpretácia parametrov a predikcia pre konkrétnu hodnotu - hodnotenie kvality modelu > Definícia: Kovariancia je miera spoločného lineárneho správania dvoch náhodných premenných; kladná kovariancia naznačuje, že keď jedna premenná rastie, aj druhá má tendenciu rásť. > Definícia: Výberový koeficient korelácie $r$ je normalizovaná kovariancia, ktorá nadobúda hodnoty v intervale $[-1,1]$ a meria silu a smer lineárnej závislosti medzi dvoma premennými. ## Dátový súbor (zhrnutie) Máme $n=10$ pozorovaní. Označíme $y$ ako tržby (v miliónoch USD) a $x$ ako výrobné náklady (v miliónoch USD). Tabuľka (skrátene): | Film | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $y$ (tržby) | 85 | 106 | 50 | 131 | 55 | 33 | 80 | 90 | 135 | 95 | | $x$ (náklady) | 9 | 13 | 5 | 11 | 3 | 4 | 9 | 9 | 15 | 12 | ## Krok 1: Základné sumarizácie Najprv vypočítame priemery a súčty potrebné pri odhadoch. Súčet tržieb: $$\sum_{i=1}^{10} y_i = 850$$ Priemer tržieb: $$\bar{y} = \frac{850}{10} = 85$$ Súčet výrobných nákladov: $$\sum_{i=1}^{10} x_i = 90$$ Priemer výrobných nákladov: $$\bar{x} = \frac{90}{10} = 9$$ Súčty pre odhady (vypočítané zo vstupných údajov): $$\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 952$$ $$\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 8826$$ > Poznámka: nasledujúce výpočty používajú štandardné formulácie pre výberové odhady. ## Krok 2: Kovariancia a korelácia ### Výpočet výberovej kovariancie Výberová kovariancia medzi $x$ a $y$ sa vypočíta ako: $$\mathrm{cov}(x,y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$ Pre praktický výpočet môžeme použiť tiež formu cez súčty: $$\mathrm{cov}(x,y) = \frac{1}{n-1}\left(\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}\right)$$ Dosadením hodnôt dostaneme: $$\mathrm{cov}(x,y) = \frac{1}{9}\left(8826 - 10\cdot 9\cdot 85\right)$$ Vypočítame členy: $10\cdot 9\cdot 85 = 7650$, rozdiel je $8826 - 7650 = 1176$. Teda $$\mathrm{cov}(x,y) = \frac{1176}{9} = 130.666\ldots \approx 130.67$$ Interpretácia: Kovariancia je kladná, čo naznačuje pozitívnu lineárnu súvislosť medzi výrobnými nákladmi a tržbami. ### Výpočet výberového koeficienta korelácie Vzorec pre $r$: $$r = \frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x s_y}$$ kde $s_x$ a $s_y$ sú výberové smerodajné odchýlky. Najskôr spočítame smerodajné odchýlky cez súčty: $$s_x^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\right) = \frac{1}{9}(952 - 10\cdot 9^2)$$ Vypočítame: $10\cdot 9^2 = 810$, rozdiel $952 - 810 = 142$, teda $$s_x^2 = \frac{142}{9} \approx 15.777\ldots$$ $$s_x \approx \sqrt{15.777\ldots} \approx 3.973$$ Pre $s_y$ potrebujeme $\sum y_i^2$. Vypočítame ho priamo z dát: $\sum y_i^2 = 85^2 + 106^2 + 50^2 + 131^2 + 55^2 + 33^2 + 80^2 + 90^2 + 135^2 + 95^2 = 83986$. Potom $$s_y^2 = \frac{1}{9}(83986 - 10\cdot 85^2)$$ Vypočítame: $10\cdot 85^2 = 10\cdot 7225 = 72250$, rozdiel $83986 - 72250 = 11736$, teda $$s_y^2 = \frac{11736}{9} = 1304$$ $$s_y = \sqrt{1304} \approx 36.124$$ Teraz korelácia: $$r = \frac{130.666\ldots}{3.973\cdot 36.124} \approx \frac{130.666}{143.55} \approx 0.9105$$ Interpretácia: $r \approx 0.91$ značí veľmi silnú pozitívnu lineárnu závislosť medzi výrobnými nákladmi a tržbami. ## Krok 3: Odhad parametrov lineárneho regresného modelu Uvažujeme jednoduchý lineárny model: $$y = \beta_0 + \beta_1 x + u$$ Odhady metódou najmenších štvorcov sú: $$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{(n-1)\mathrm{cov}(x,y)}{(n-1)s_x^2} = \frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x^2}$$ Dosa