Test na Prehľad vzorcov z kalkulu a trigonometrie

Otázka 1: Definícia hyperbolického sínusu ($\sinh x$) je $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

A. Ano

B. Ne

Vysvetlenie: Definícia hyperbolického sínusu je $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.

Otázka 2: Súčet sínusov dvoch uhlov $\sin x + \sin y$ je možné vyjadriť ako $2 \sin \left(\frac {x + y}{2}\right) \cos \left(\frac {x - y}{2}\right)$.

A. Ano

B. Ne

Vysvetlenie: Podľa vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov platí: $\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac {x + y}{2}\right) \cos \left(\frac {x - y}{2}\right)$. Tento vzorec je priamo uvedený v študijných materiáloch.

Otázka 3: Ktorý z nasledujúcich vzorcov správne vyjadruje rozdiel kosínusov cos x - cos y?

A. 2 sin ((x + y)/2) cos ((x - y)/2)

B. - 2 sin ((x + y)/2) sin ((x - y)/2)

C. 2 cos ((x + y)/2) cos ((x - y)/2)

D. 2 sin x cos y

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov je vzorec pre rozdiel kosínusov: cos x - cos y = - 2 sin ((x + y)/2) sin ((x - y)/2).

Otázka 4: Ktoré z nasledujúcich tvrdení je pravdivé na základe uvedených študijných materiálov?

A. lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1

B. lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} - 1 = 0

C. lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 0

D. lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = -1

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov platí vzťah: lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} - 1. Ak tento výraz chápeme ako limitu celého výrazu, potom z neho vyplýva, že hodnota lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} je 1. Teda lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} - 1 = 1 - 1 = 0.

Otázka 5: Derivácia funkcie tangens x je rovná mínus jedna lomeno cosínus na druhú x.

A. Ano

B. Ne

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov je derivácia funkcie tangens x rovná jedna lomeno cosínus na druhú x, nie mínus jedna lomeno cosínus na druhú x. Presnejšie: $(\operatorname {tg} x) ^ {\prime} = \frac {1}{\cos^ {2} x}$.