Zhrnutie na Prehľad vzorcov z kalkulu a trigonometrie
Prehľad Vzorcov z Kalkulu a Trigonometrie: Komplexný Sprievodca
Úvod
Krátky prehľad základných trigonometrických a analytických identít, ktoré sa často používajú pri riešení rovníc, zjednodušovaní výrazov a odhadovaní limit. Tento materiál zhŕňa sumové a rozdielové vzorce, polovičné a dvojnásobné uhly, inverzné vzťahy, základné limity, Taylorove polynómy a derivácie.
Definícia: Trigonometrické identity sú algebraické vzťahy medzi trigonometrickými funkciami, platné pre všetky reálne uhly, pri ktorých sú funkcie definované.
Základné sumové a rozdielové vzorce
Vzorce pre sínus a kosínus súčtu/rozdielu
$$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$ $$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$$
Príklady:
- Ak chcete rozložiť $\sin(x+y)$, použite prvý vzorec priamo.
- Pre $\cos(x-y)$ platí $\cos x \cos y + \sin x \sin y$.
Súčty a rozdiely sínusov a kosínusov
$$\sin x \pm \sin y = 2 \sin\left(\frac{x \pm y}{2}\right) \cos\left(\frac{x \mp y}{2}\right)$$ $$\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right)$$ $$\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right)$$
Použitie: tieto vzorce sú užitočné pri integrácii trigonometrických súčinov alebo pri hľadaní amplitúd a fáz v harmonických analýzach.
Inverzné trigonometrické vzťahy
$$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^{2}}\quad \sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$ $$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^{2}}\quad \cos(\arctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$
Poznámka: Pri použití odmocnín berieme hlavný kladný koreň v rámci štandardných definícií funkcií arccos, arcsin a arctg.
Dvojnásobné uholy a Pythagorova identita
$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x\quad \cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$$ $$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1\quad 1 + \operatorname{tg}^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$$
Odvoďte aj alternatívne tvary: $$\cos 2x = 2\cos^{2} x - 1 = 1 - 2\sin^{2} x$$
Identita pre štvorce a polovičné uhly
$$\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\quad \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$ $$1 + \cos x = 2 \cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\quad 1 - \cos x = 2 \sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$$
Použitie: tieto vzorce sa často používajú pri uľahčení integrálov s \sin^{2} x alebo \cos^{2} x alebo pri analýze energie v harmonických oscilátoroch.
Tangensové vzťahy
$$\operatorname{tg} 2x = 2\frac{\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^{2} x}\quad \operatorname{tg}\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$$
Príklad: na vyriešenie rovnice s \operatorname{tg}\frac{x}{2} môžete substitúciou lineárne zredukovať trigonometrický výraz.
Hyperbolické funkcie
$$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\quad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$
Vlastnosti: \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1, analogicky k Pythagorovej identite.
Tabuľka základných hodnôt trigonometrických funkcií
| uhol | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\operatorname{tg} x$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | - | $0$ |
| $\operatorname{ctg} x$ | - | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | - |
Zaregistruj se pro celé shrnutíUž máš účet? Prihlásiť sa
Trigonometrické a analytické identity
Klíčové pojmy: Sumový vzorec: $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$, Kosínus: $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$, Dvojnásobný uhol: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$, Polovičné identity: $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, Tangens: $\operatorname{tg}2x=2\frac{\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^{2}x}$, Základné limity: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\tfrac{1}{2}$, Taylor: $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\dots$ a $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\dots$, Derivácie: $(f\cdot g)'=f'g+fg'$, $(g\circ f)'=g'(f)f'$, Inverzné vzťahy: $\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^{2}}$, $\cos(\arctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$, Hyperbolické funkcie: $\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$, $\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$