Zhrnutie na Mechanika a Gravitácia

## Úvod Gravitácia je príťažlivé pôsobenie medzi hmotnými telesami, ktoré riadi pohyb planét, mesiacov a umelých družíc. V tejto kapitole zhrnieme Keplerove zákony, Newtonov gravitačný zákon, gravitačné pole s potenciálom, tiažovú silu a zrýchlenie, kozmické rýchlosti a energiu v centrálnom gravitačnom poli. Materiál je určený pre študentov na úrovni vysokej školy, zameraný na pochopenie vzťahov a aplikácií. ## 1. Keplerove zákony ### I. Keplerov zákon > Planéty sa pohybujú po eliptických dráhach s Slnkom v jednom zo svojich ohnísk. - Elipsa: geometrické miesto bodov, ktorých súčet vzdialeností od dvoch ohnísk je konštantný. - Dôležité: eliptická dráha má veľkú (hlavnú) polosu $a$ a polohu ohnísk. ### II. Keplerov zákon > Plochy, ktoré vyčarí polohový vektor planéty k Slnku za rovnaké časové intervaly, sú rovnaké. - To znamená, že planéta sa pohybuje rýchlejšie pri perihéliu a pomalšie pri apheliu. - Graficky: za rovnaký čas $\Delta t$ sú plochy $S_1 = S_2$. ### III. Keplerov zákon > Štvorce obehových periód planét sú úmerné tretím mocninám veľkých polos ich dráh. - Matematicky: $T^2 = K\, a^3$, kde $T$ je obehová doba, $a$ veľká polosa a $K$ Keplerova konštanta pre daný centrálny objekt. Fun fact: Keplerove zákony pôvodne odviedol Johannes Kepler empiricky z pozorovaní Tycha Braheho bez znalosti univerzálnej gravitácie. ## 2. Newtonov gravitačný zákon ### Skalarna forma > Gravitačná sila medzi dvoma hmotnými bodmi je priamo úmerná súčinu ich hmotností a nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti medzi nimi: $$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$ - $G$ je gravitačná konštanta, $G = 6.6743\cdot 10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$. ### Vektorová forma > Smerom a zmyslom medzi dvoma bodmi (HB1, HB2) platí: $$\vec{F}_{12} = G\frac{m_1 m_2}{r^3}\,\vec{r}$$ $$\vec{F}_{21} = -G\frac{m_1 m_2}{r^3}\,\vec{r}$$ - Kde $\vec{r}$ je polohový vektor druhého telesa voči prvému. ### Príklad - Dva bodové hmotné objekty $m_1$, $m_2$ vo vzdialenosti $r$ majú veľkosť sily $F_g = Gm_1 m_2 / r^2$. ## 3. Gravitačné pole planéty a voľný pád ### Gravitačné zrýchlenie (vektorové a skalárne) > Gravitačné zrýchlenie v poli s centrom v strede hmotného objektu hmotnosti $M$ pre polohový vektor $\vec{R}$ je: $$\vec{g}(\vec{R}) = -GM\frac{\vec{R}}{R^3}$$ > Veľkosť gravitačného zrýchlenia v závislosti od vzdialenosti $R$ od stredu je: $$g(R) = GM/R^2$$ - Pre povrch Zeme: použiť $M_z = 5.972\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R_z = 6.378\cdot 10^6\,\mathrm{m}$ a $G$ uvedené vyššie. - Výpočet: $$g(R_z) \approx 6.6743\cdot 10^{-11}\frac{5.972\cdot 10^{24}}{(6.378\cdot 10^6)^2}\,\mathrm{m\,s^{-2}} \approx 9.79843\,\mathrm{m\,s^{-2}}$$ ### Gravitačné pole homogénnej gule - Vnútri gule (od stredu k povrchu) platí: $$g_{vn\acute{u}t.}(R) = GM_{gule}\frac{R}{R_{gule}^3}$$ (závisí lineárne od $R$). - Mimo povrchu (od povrchu do nekonečna): $$g_{vonk.}(R) = GM_{gule}\frac{1}{R^2}$$ (klesá s $1/R^2$). ## 4. Tiažová sila a tiažové zrýchlenie ### Čo je tiažová sila > Tiažová sila na povrchu Zeme je výslednica gravitačnej a odstredivej sily v neinerciálnej sústave rotujúcej s rotáciou Zeme. - Vektorovo: $$\vec{F}_t = \vec{F}_g + \vec{F}_{od}$$ - Odstredivá sila závisí na uhlovej rýchlosti rotácie $\omega$ a zemepisnej šírke $\varphi$. ### Vlastnosti tiažovej sily - Veľkosť tiažovej sily rastie so zemepisnou šírkou $\varphi$: najmenšia na rovníku, najväčšia na póloch. - Na rovníku a póloch smeruje do stredu Zeme, inde je odklonená. ### Tiažové zrýchlenie > Tiažové zrýchlenie je zrýchlenie, ktoré získa hmotný bod pôsobením tiažovej sily: $$\vec{a}_t = \frac{\vec{F}_t}{m}$$ - Závisí tiež od zemepisnej šírky $\varphi$. - Hodnoty na povrchu Zeme: $g(0^\circ)=9.78694\,\mathrm{m\,s^{-2}}$, $g(48.143889^\circ)=9.79815\,\mathrm{m\,s^{-2}}$, $g(\pm90^\circ)=9.82064\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. ### Vzorec pre veľkosť tiažového zrýchlenia na rovnobežke - Veľkosť pre danú šírku $\varphi$ je daná: $$g(\varphi) = \sqrt{\left(\frac{GM_z}{R_z^2}\sin\varphi\right)^2 + \left(\frac{GM