Zhrnutie na Korelačná analýza a jej koeficienty

## Úvod Koeficienty korelácie sú štatistické miery, ktoré kvantifikujú silu a smer vzťahu medzi dvoma premennými. Tento materiál vysvetľuje najpoužívanejšie koeficienty korelácie, kedy ich použiť, ako ich interpretovať a ako ich vypočítať alebo získať v SPSS. > Definícia: Koeficient korelácie je číselná hodnota, ktorá udáva smer (kladný alebo záporný) a silu vzťahu medzi dvoma premennými. ## Prehľad koeficientov korelácie Nižšie sú hlavné typy koeficientov, ktoré budeme preberať: | Koeficient | Miera | Typ premenných | Poznámka | |---|---:|---|---| | Pearsonov r | Lineárna korelácia | Intervalová/početná, normálne rozdelené | Citlivý na odľahlé hodnoty a predpoklad linearity | | Spearmanov ρ | Monotónna korelácia | Ordinálna alebo intervalová bez normálnosti | Neparametrický, odolný voči odľahlým hodnotám | | Kendallovo τ | Súhlas/nesúhlas v poradí | Ordinálna | Alternatíva k Spearmanovi, použitie tau-b/tau-c | | Phi (φ) | Asociácia v 2×2 tabuľke | Nominálna (dichotomická) | Základ na χ^2 pre 2×2 | | Cramerovo V | Asociácia pre väčšie tabuľky | Nominálna s >2 kategóriami | Normalizované z χ^2 podľa min(r-1,c-1) | ## 1) Pearsonov koeficient korelácie ### Kedy použiť - Keď sú obe premenné na intervalovej alebo pomerovej škále a majú približne normálne rozdelenie. - Keď očakávame lineárny vzťah. > Definícia: Pearsonov koeficient korelácie $r$ meria silu a smer lineárneho vzťahu medzi dvoma premennými a nadobúda hodnoty od $-1$ po $+1$. ### Interpretácia - $r>0$ znamená priamy lineárny vzťah. - $r<0$ znamená nepriamy (inverzný) lineárny vzťah. - $r=0$ znamená absenciu lineárneho vzťahu (nemusí znamenať nezávislosť). ### SPSS postup Analyze – Correlate – Bivariate ### Pozor - Vybrať, či testujeme jednostranú alebo obojstrannú hypotézu. Jednostranný test (one-tailed) ak máme smerovú hypotézu, obojstranný (two-tailed) ak nie. ## 2) Spearmanov koeficient korelácie ### Kedy použiť - Pre ordinálne premenné. - Pre intervalové/pomerové premenné, ktoré nespĺňajú predpoklad normálnosti. - Pri kombinácii ordinálnej a kardinálnej premennej. > Definícia: Spearmanov koeficient ρ je neparametrická miera monotónneho vzťahu medzi dvoma premennými, nadobúda hodnoty od $-1$ do $+1$. ### Vlastnosti a interpretácia - Meria silu monotónneho (nie nevyhnutne lineárneho) vzťahu. - Hodnota $ρ<0$ znamená nepriamu monotónnu závislosť, $ρ>0$ priamu monotónnu závislosť. - $ρ= \, -1$ znamená dokonalú nepriamu závislosť, $ρ=+1$ dokonalú priamu, $ρ=0$ žiadny monotónny vzťah. ### Vzorec Pre počet $n$ pozorovaní a poradové stupne $P_{x,i}$ a $P_{y,i}$ platí: $$\rho_S = 1 - \dfrac{6}{n(n^2-1)}\sum_{i=1}^{n}\left(P_{x,i} - P_{y,i}\right)^2$$ ### Požiadavky - Vzťah medzi premennými by mal byť monotónny (hodnoty rastú alebo klesajú spoločne, nie nevyhnutne lineárne). ### SPSS postup Analyze – Correlate – Bivariate ## 3) Kendallovo tau ### Kedy použiť - Pre ordinálne dáta, keď chceme merať súlad/nezhodu v poradí párov. > Definícia: Kendallovo tau meria priemernú mieru súhlasu v poradí hodnôt dvoch premenných podľa princípu zhody a nezhody párov pozorovaní. ### Princíp zhody/nezhody - Zhoda: pre dvojicu i, j platí $(X_i<X_j)$ a $(Y_i<Y_j)$ alebo $(X_i>X_j)$ a $(Y_i>Y_j)$. - Nezhoda: $(X_i<X_j)$ a $(Y_i>Y_j)$ alebo $(X_i>X_j)$ a $(Y_i<Y_j)$. - Keď prevládajú zhody, ide o priamy vzťah; keď prevládajú nezhody, ide o nepriamy vzťah. ### Varianty - tau-b: odporúča sa pre tabuľky 2×2 alebo štvorcové tabuľky (rovnaký počet riadkov a stĺpcov). - tau-c: odporúča sa pre obdĺžnikové tabuľky. ### SPSS postup Analyze – Descriptive Statistics – Crosstabs – Statistics – zvoliť Kendall's tau ## 4) Koeficient Phi ### Kedy použiť - Pri dvoch nominálnych dichotomických premenných (2×2 kontingenčná tabuľka). > Definícia: Phi ($\varphi$) je miera sily asociácie pre 2×2 kontingenčné tabuľky, odvodená z testu chí-kvadrát. ### Vzorec $$\varphi = \sqrt{\dfrac{\chi^2}{n}}$$ kde $\chi^2$ je štatistika chí-kvadrát a $n$ je veľkosť vzorky. ## 5) Cramerovo V ### Kedy použiť -