Zhrnutie na Integrály a nekonečné rady

## Úvod Určitý integrál je základný nástroj analýzy, ktorý umožňuje vypočítať obsah oblastí v rovine, fyzikálne veličiny ako prácu, objem či ťažisko, a zároveň spája diferenciálny a integrálny počet cez Newton–Leibnizovu vetu. V tomto materiáli rozoberieme definíciu určitého integrálu, jeho vlastnosti, geometrické a fyzikálne interpretácie a vybrané aplikácie: dĺžky kriviek, obsahy rotačných plôch, objemy a ťažiská. ## Základné pojmy a definícia > Definícia: Nech je funkcia $f$ definovaná na uzavretom intervale $\langle a,b\rangle$. Číslo $I$ sa nazýva určitý integrál funkcie $f$ na tomto intervale, ak pre každú prístupnú postupnosť integrálnych súčtov $\{S_f(D_n)\}$ platí $\lim_{n\to\infty} S_f(D_n)=I$. Označenie: $$I=\int_a^b f(x)\,dx.$$ - Dolná hranica integrálu: $a$, horná hranica: $b$. - Funkcia $f$ sa nazýva integrand. ### Integrovateľnosť – základné poznatky - Ak je $f$ integrovateľná na $\langle a,b\rangle$, potom je na tomto intervale ohraničená. - Každá spojitá funkcia na $\langle a,b\rangle$ je integrovateľná. - Ohraničená funkcia s konečným počtom nespojitostí na $\langle a,b\rangle$ je integrovateľná. > Poznámka: Integrál z jedného bodu je 0: $$\int_a^a f(x)\,dx=0.$$ > Vzájomné vlastnosti: $$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx,$$ ak $a<b<c$ potom $$\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.$$ ## Geometrická interpretácia určitého integrálu - Ak je $f$ spojitá a nezáporná na $\langle a,b\rangle$, potom $$\int_a^b f(x)\,dx$$ určuje obsah krivočiarého lichobežníka $$L=\{(x,y):a\le x\le b,\;0\le y\le f(x)\}.$$ Vlastnosti obsahu: - (V1) Obsah $P$ je nezáporný a jednoznačne určený. - (V2) Aditívnosť: rozdelením intervalu cez $c$ dostaneme $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$$ - (V3) Monotónnosť: ak $L_3\subset L$ potom $P_3\le P$. - (V4) Pre konštantnú funkciu $f(x)=k>0$ platí $$\int_a^b k\,dx=k(b-a).$$ Fun fact: Určitý integrál interpretuje obsah pod grafom funkcie a zároveň fyzikálnu prácu s rovnakým matematickým výrazom. ## Newton–Leibnizova veta a neurčitý integrál > Veta Newton–Leibniz: Nech je $f$ integrovateľná na $\langle a,b\rangle$ a nech $F$ je spojitá na $\langle a,b\rangle$ a primitívna k $f$ na $(a,b)$. Potom platí $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b.$$ - Neurčitý integrál (primitívna funkcia) sa značí $$\int f(x)\,dx$$ a spĺňa $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$. - Newton–Leibniz nám umožňuje premeniť výpočet určitého integrálu na nájdenie primitívnej funkcie. ## Integrál ako funkcia hornej hranice Nech $f$ je integrovateľná na $\langle a,b\rangle$ a zvoľme pevné $\alpha\in\langle a,b\rangle$. Definujeme funkciu $$F(x)=\int_\alpha^x f(t)\,dt,\quad x\in\langle a,b\rangle.$$ Vlastnosti: - (V1) $F$ je spojitá na $\langle a,b\rangle$. - (V2) Ak je $f$ spojitá na intervale $J$, potom $F$ je primitívna k $f$ na $J$ a platí $F'(x)=f(x)$ pre každé $x\in J$. ## Veta o strednej hodnote pre integrály > Veta o strednej hodnote: Nech je $f$ integrovateľná na $\langle a,b\rangle$, nech $m=\inf_{x\in\langle a,b\rangle} f(x)$ a $M=\sup_{x\in\langle a,b\rangle} f(x)$. Potom existuje číslo $\mu$ s $m\le\mu\le M$ také, že $$\int_a^b f(x)\,dx=\mu(b-a).$$ - Ak je $f$ spojitá na $\langle a,b\rangle$, existuje $\xi\in(a,b)$ s $$\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a).$$ - Geometricky: existuje obdĺžnik výšky $f(\xi)$, ktorého obsah sa rovná obsahu oblasti pod krivkou. ## Elementárna rovinná oblasť a rozdiel grafov Nech sú $f$ a $g$ spojité na $\langle a,b\rangle$ a $0\le g(x)\le f(x)$ pre $x\in\langle a,b\rangle$. Potom obsah oblasti medzi grafmi je $$P=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx.$$ Praktický postup pri výpočte oblasti medzi krivkami: 1. Nájdite prieniky grafov a určíe príslušné intervaly. 2. Určte, ktorá funkcia je hore a ktorá dole na každom intervale. 3. Vypočítajte rozdiel integrálov alebo jedným integrálom rozdiel funkcií. Príklad (stručne): Nájdite oblasť medzi $x=-2$, $x=3$, $y=3x$, $y=x^2-4$. Všimneme si zmeny usporiadania medzi interval