Kartičky na Integrály a nekonečné rady
Integrály a Nekonečné Rady: Komplexný Sprievodca pre Študentov
Ťukni na otočenie · Potiahni na navigáciu
Diferenciálne rovnice - lineárne rovnice
66 kartičiek
Kartička 1
Otázka: Čo vyjadruje diferenciálna rovnica v kontexte modelovania systému?
Odpoveď: Definuje vzťah medzi rôznymi deriváciami neznámej funkcie a môže opísať napr. exponenciálny rast/úpadok, populačný rast alebo zmenu návratností v čase
Kartička 2
Otázka: Aký tvar má homogénna lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany?
Odpoveď: y^(n) + a1 y^(n-1) + ⋯ + a_{n-1} y' + a_n y = 0, kde a_i sú reálne konštanty.
Kartička 3
Otázka: Čo je charakteristická (algebraická) rovnica prislúchajúca homogénnej LDR s konštantnými koeficientami?
Odpoveď: r^n + a1 r^{n-1} + ⋯ + a_{n-1} r + a_n = 0; jej korene sú charakteristické korene diferenciálnej rovnice.
Kartička 4
Otázka: Ako súvisia korene charakteristickej rovnice s riešeniami diferenciálnej rovnice v komplexnej oblasti?
Odpoveď: Polynóm n-tého stupňa má v C presne n koreňov s násobnosťami; tieto korene určujú fundamentálny systém riešení homogénnej LDR s konštantnými koeficien
Kartička 5
Otázka: Aký fundamentálny systém riešení dostaneme pre jedinečný reálny charakteristický koreň r s násobnosťou k?
Odpoveď: Funkcie e^{r x}, x e^{r x}, x^2 e^{r x}, …, x^{k-1} e^{r x} tvoria fundamentálny systém pre tento koreň.
Kartička 6
Otázka: Aký fundamentálny systém riešení prislúcha páru komplexne združených koreňov α ± iβ s násobnosťou s (β ≠ 0)?
Odpoveď: Funkcie e^{α x} cos βx, x e^{α x} cos βx, …, x^{s-1} e^{α x} cos βx a e^{α x} sin βx, x e^{α x} sin βx, …, x^{s-1} e^{α x} sin βx.
Kartička 7
Otázka: Ak sú charakteristické korene r1, r2, …, rm navzájom rôzne reálne korene s násobnosťami k1,…,km a páry komplexných koreňov s násobnosťami s1,…,sp, aký
Odpoveď: k1 + k2 + ⋯ + km + 2(s1 + s2 + ⋯ + sp) = n.
Kartička 8
Otázka: Pre 2. rádovú homogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientami aký fundamentálny systém dostaneme, ak sú korene r1 a r2 reálne a
Odpoveď: y1 = e^{r1 x}, y2 = e^{r2 x}.
Kartička 9
Otázka: Ak je charakteristický koreň r1 dvojnásobný pre 2. rádovú homogénnu LDR, aký je fundamentálny systém riešení?
Odpoveď: y1 = e^{r1 x}, y2 = x e^{r1 x}.
Kartička 10
Otázka: Ak sú korene 2. rádovej charakteristickej rovnice komplexne združené r1 = α + iβ a r2 = α − iβ (β ≠ 0), aký je fundamentálny systém riešení?
Odpoveď: y1 = e^{α x} cos βx, y2 = e^{α x} sin βx.