Zhrnutie na Deskriptívna štatistika: Základy a aplikácie

## Úvod Deskriptívna štatistika sumarizuje a popisuje súbory údajov pomocou jednoduchých číselných miér a grafov. Cieľom je pochopiť, kde sa údaje sústreďujú, ako sa rozptyľujú a aké majú tvary rozdelenia bez zovšeobecňovania na populáciu. > **Definícia:** Deskriptívna štatistika sú nástroje na zhrnutie a vizualizáciu údajov pomocou charakteristík polohy, variability a tvaru rozdelenia. ## Hlavné kategórie charakteristík 1. **Charakteristiky polohy** — určujú „stred“ dát. 2. **Charakteristiky variability** — merajú rozptyl alebo kolísanie hodnôt. 3. **Charakteristiky tvaru** — šikmosť a špicatosť opisujú asymetriu a koncentráciu dát. ## Charakteristiky polohy ### Priemer (aritmetický) > **Definícia:** Priemer je súčet všetkých hodnôt delený počtom hodnôt. Použitie: vhodný pre kvantitatívne (kardinálne) údaje bez výrazných odľahlých hodnôt. ### Medián > **Definícia:** Medián je hodnota v strede usporiadaného súboru, ktorá delí dáta na dve polovice. - Ak $n$ je nepárne, medián je hodnotou na pozícii $\frac{n+1}{2}$. - Ak $n$ je párne, medián je priemerom hodnôt na pozíciách $\frac{n}{2}$ a $\frac{n}{2+1}$. Príklad: Medián hodnoty košíka často lepšie vystihuje „typickú“ objednávku ako priemer, pretože je odolnejší voči veľmi veľkým objednávkam. > **Definícia (formálne):** Pre nepárne $n$ je medián $\widehat{x} = x_{\frac{n+1}{2}}$, pre párne $n$ je $\widehat{x} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$. ### Modus > **Definícia:** Modus je hodnota, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie. - Môže byť unimodálny, bimodálny alebo multimodálny. - Použitie: nominálne alebo ordinálne dáta, kategórie najčastejších výskytov. Praktické príklady polohy: - Najčastejšie kupovaná kategória (modus). - Typická objednávka (medián). - Priemerná hodnota košíka (priemer). ## Charakteristiky variability ### Variačné rozpätie (Range) > **Definícia:** Rozdiel medzi maximom a minimom. $$R_q = x_{\max} - x_{\min}$$ Rýchly prehľad stability tržieb: napr. min 800 €, max 3400 € → rozpätie 2600 €. ### Kvartilové rozpätie (IQR) > **Definícia:** IQR je rozdiel medzi horným kvartilom $Q_3$ a dolným kvartilom $Q_1$ a pokrýva stredných 50 % dát. $$IQR = Q_3 - Q_1$$ IQR je menej citlivé na extrémy ako rozpätie. Príklad: IQR = 9 € znamená, že stredných 50 % objednávok je v intervale danej šírky. ### Rozptyl > **Definícia:** Rozptyl je priemerný štvorcový odstup hodnôt od aritmetického priemeru. $$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \left(x_j - \hat{x}\right)^2$$ Použitie: základ pre výpočet štandardnej odchýlky. ### Štandardná odchýlka (smerodajná odchýlka) > **Definícia:** Štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu. $$s = \sqrt{s^2}$$ Príklad: Priemer košíka 30 €, SD $5$ € → typická odchýlka objednávok od priemeru je približne $5$ €. ### Variačný koeficient (CV) > **Definícia:** Relatívna mierka variability v percentách, nezávislá od jednotiek. $$v = \frac{s}{\bar{x}} \times 100$$ Príklad: Produkt A: priemer $100$, SD $20$ → CV $20\%$. Produkt B: priemer $10$, SD $4$ → CV $40\%$. CV umožňuje porovnávať variabilitu medzi rôznymi meraniami. ## Charakteristiky tvaru rozdelenia ### Šikmosť (skewness) > **Definícia:** Šikmosť meria asymetriu rozdelenia okolo priemeru. - Ak $y_1 > 0$, ide o kladné (pravostranné) zošikmenie — väčšina hodnôt je nižšia než priemer. - Ak $y_1 = 0$, rozdelenie je symetrické a platí priemer = medián = modus. - Ak $y_1 < 0$, ide o záporné (ľavostranné) zošikmenie — väčšina hodnôt je vyššia než priemer. Did you know that pravostranné (kladné) zošikmenie často vzniká pri príjmoch alebo cenách, kde menšina vysokých hodnôt ťahá priemer nahor? ### Špicatosť (kurtóza) > **Definícia:** Špicatosť meria koncentráciu hodnôt v okolí stredu a pravdepodobnosť extrémov. - $\gamma_2 > 0$: rozdelenie je špicaté (väčšia pravdepodobnosť extrémnych hodnôt). - $\gamma_2 = 0$: približne normálne rozdelenie. - $\gamma_2 < 0$: rozdelenie je plochejšie (menej extrémov). Príklad: Počas akcií (Black Friday) sa môže zvýšiť špica