# Körgeometria és szögei A kör egy alapvető geometriai alakzat, amely számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik. A körrel kapcsolatos fogalmak megértése elengedhetetlen a síkgeometria mélyebb elsajátításához. Ebben a tananyagban a kör alapfogalmait, a középponti és kerületi szögeket, azok kapcsolatát, az érintő szárú kerületi szöget és a húrnégyszögeket tárgyaljuk részletesen. ## 1. Alapfogalmak > **Kör:** Azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól (a kör középpontjától) azonos távolságra (sugár) vannak. > **Kör középpontja ($O$):** Az a pont, amelytől a kör minden pontja egyenlő távolságra van. > **Sugár ($r$):** A kör középpontját és a kör kerületének egy pontját összekötő szakasz hossza. > **Húr:** A kör két pontját összekötő szakasz. > **Átmérő:** A kör középpontján áthaladó húr, a leghosszabb húr. Hossza $2r$. > **Körív:** A kör kerületének egy része, amelyet két pont határol. ## 2. Középponti szög A **középponti szög** egy olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában ($O$) van, szárai pedig a kör két pontjához ($A$ és $B$) vezetnek. Jelöljük ezt a szöget $\alpha$-val. A középponti szög mindig egy adott körívhez tartozik, amelyet a szárai metszenek ki a körből. A középponti szög nagysága egyenesen arányos a hozzá tartozó körív hosszával. ## 3. Kerületi szög A **kerületi szög** egy olyan szög, amelynek csúcsa a kör kerületén ($C$) van, szárai pedig a kör két másik pontjához ($A$ és $B$) vezetnek. Jelöljük ezt a szöget $\beta$-val. A kerületi szög is egy adott körívhez tartozik, mégpedig ahhoz az ívhez, amelyet a szárai metszenek ki a körből, és amely nem tartalmazza a szög csúcsát. Fontos megjegyezni, hogy végtelen sok kerületi szög tartozhat ugyanahhoz az ívhez, mivel a csúcs ($C$) bárhol elhelyezkedhet az ív komplementerén. ## 4. A középponti és kerületi szög tétele Ez a geometria egyik legfontosabb tétele a körrel kapcsolatban. Kimondja, hogy **ugyanazon a köríven nyugvó középponti szög kétszerese az ugyanazon az íven nyugvó kerületi szögnek.** Másképpen fogalmazva, az ugyanazon íven nyugvó kerületi szög fele a középponti szögnek. Képletben kifejezve: $$\beta = \frac{\alpha}{2}$$ vagy $$\alpha = 2 \cdot \beta$$ Zajímavost: Ebből a tételből következik, hogy egy adott körívhez tartozó összes kerületi szög egyenlő egymással, ha a szög csúcsa az ív komplementerén helyezkedik el. ### 4.1. Bizonyítás A tétel bizonyítása három fő esetre bontható, attól függően, hogy a kerületi szög csúcsa ($C$) hogyan helyezkedik el a középpont ($O$) és a szög száraihoz tartozó sugarak ($OA$, $OB$) viszonylatában. #### 1. eset: A középpont a kerületi szög egyik szárán van. Tegyük fel, hogy a $C$ pont úgy helyezkedik el a körön, hogy a $CA$ szár áthalad a kör középpontján, azaz $CA$ átmérő. Ekkor az $O$ pont a $CA$ szakaszon fekszik. Tekintsük az $OCB$ háromszöget. Ez egy egyenlő szárú háromszög, mivel $OC$ és $OB$ is a kör sugara ($r$). Ezért az $OCB$ szög és az $OBC$ szög egyenlő, azaz $\angle OCB = \angle OBC = \beta$. Az $OCB$ háromszögben az $AOB$ szög ($\alpha$) külső szög az $O$ pontnál. A külső szög egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével, tehát: $$\alpha = \angle OCB + \angle OBC = \beta + \beta = 2\beta$$ Ezzel az összefüggés bizonyítva van ebben az esetben. #### 2. eset: A középpont a kerületi szög belsejében van. Húzzunk egy egyenest a $C$ pontból a kör középpontján ($O$) keresztül, és jelöljük a körrel való másik metszéspontját $D$-vel. Ez a $CD$ átmérő két részre osztja a kerületi szöget ($\angle ACB = \beta$) és a középponti szöget ($\angle AOB = \alpha$). Jelöljük a részeket $\beta_1$ és $\beta_2$ illetve $\alpha_1$ és $\alpha_2$-vel. Az 1. eset alapján tudjuk, hogy $\angle ACD = \beta_1$-hez tartozó középponti szög $\angle AOD = \alpha_1 = 2\beta_1$, és $\angle BCD = \beta_2$-höz tartozó középponti szög $\angle BOD = \alpha_2 = 2\beta_2$. Ekkor a teljes kerületi szög $\beta = \beta_1 + \beta_2$, és a teljes középponti szög $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$. Helyettesítsük be