Analyse des Suites Récurrentes : Guide Complet pour le BAC
20 questions
A. Ano
B. Ne
Explication : Pour déduire la monotonie de la suite (𝑢 𝑛 ), il faut étudier le signe de la différence 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛. D'après l'étape 3 des matériaux d'étude, la différence 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 s'exprime en fonction de 𝑢 𝑛. En calculant, on trouve 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 = (2𝑢 𝑛 +1)/(𝑢 𝑛 +2) − 𝑢 𝑛 = (2𝑢 𝑛 +1 − 𝑢 𝑛(𝑢 𝑛 +2))/(𝑢 𝑛 +2) = (2𝑢 𝑛 +1 − 𝑢 𝑛² − 2𝑢 𝑛)/(𝑢 𝑛 +2) = (1 − 𝑢 𝑛²)/(𝑢 𝑛 +2). D'après l'étape 2.b, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢 𝑛 < 1, ce qui implique que 𝑢 𝑛² < 1, et donc 1 − 𝑢 𝑛² > 0. D'après l'étape 2.a, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢 𝑛 ≥ 0, ce qui implique que 𝑢 𝑛 + 2 > 0. Par conséquent, le quotient (1 − 𝑢 𝑛²)/(𝑢 𝑛 +2) est strictement positif. Puisque 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 > 0, la suite (𝑢 𝑛 ) est strictement croissante, et donc monotone.
A. Ano
B. Ne
Explication : Pour vérifier si p peut être 4, nous devons calculer u_4 et voir s'il est supérieur ou égal à 0,99.Nous avons u_0 = 0. En utilisant la relation de récurrence u_{n+1} = (2u_n + 1) / (u_n + 2) : u_1 = (2*0 + 1) / (0 + 2) = 1/2 = 0,5 u_2 = (2*0,5 + 1) / (0,5 + 2) = (1 + 1) / 2,5 = 2 / 2,5 = 0,8 u_3 = (2*0,8 + 1) / (0,8 + 2) = (1,6 + 1) / 2,8 = 2,6 / 2,8 = 13/14 ≈ 0,9286 u_4 = (2*(13/14) + 1) / ((13/14) + 2) = (13/7 + 1) / (13/14 + 28/14) = (20/7) / (41/14) = 40/41 ≈ 0,9756 Comme u_4 ≈ 0,9756 n'est pas supérieur ou égal à 0,99, le rang p ne peut pas être 4.
A. Ano
B. Ne
Explication : La suite (𝑢 𝑛 ) est définie par 𝑢 0 = 0 et 𝑢 𝑛+1 = 2𝑢 𝑛 +1 𝑢 𝑛 +2 pour tout 𝑛 ∈ ℕ. Le premier terme spécifié est 𝑢 0 = 0.
A. Ano
B. Ne
Explication : Selon les points 2.a et 2.b des matériaux d'étude, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝑢 𝑛 < 1, ce qui signifie que la suite est bornée. D'après les points 3 et 4, la suite (𝑢 𝑛 ) est monotone et plus précisément croissante, car 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 = (1 − 𝑢 𝑛²) / (𝑢 𝑛 +2) et puisque 0 ≤ 𝑢 𝑛 < 1, alors 1 − 𝑢 𝑛² > 0 et 𝑢 𝑛 +2 > 0. Une suite croissante et majorée (bornée supérieurement) est nécessairement convergente vers une limite finie. En résolvant L = (2L+1)/(L+2) pour trouver la limite, on obtient L² = 1. Puisque 𝑢 𝑛 ≥ 0, la limite doit être L = 1. Par conséquent, la suite (𝑢 𝑛 ) converge bien vers une limite finie (1). L'affirmation selon laquelle elle ne converge pas vers une limite finie est donc fausse.
A. Ano
B. Ne
Explication : D'après l'étude de la suite (𝑣 𝑛), on a montré que 𝑣 𝑛 est une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme 𝑣 0 = -1. Ainsi, 𝑣 𝑛 = -(1/3)^𝑛. En exprimant 𝑢 𝑛 en fonction de 𝑣 𝑛 (à partir de 𝑣 𝑛 = (𝑢 𝑛 − 1) / (𝑢 𝑛 + 1)), on obtient 𝑢 𝑛 = (1 + 𝑣 𝑛) / (1 − 𝑣 𝑛). En substituant 𝑣 𝑛, on a 𝑢 𝑛 = (1 - (1/3)^𝑛) / (1 + (1/3)^𝑛). Lorsque 𝑛 tend vers l'infini, (1/3)^𝑛 tend vers 0. Par conséquent, la limite de 𝑢 𝑛 est (1 - 0) / (1 + 0) = 1. La limite n'est donc pas 0,5.