Analyse des Suites Récurrentes : Guide Complet pour le BAC
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Question : Quelle est la définition de la suite (u_n) fournie (termes initiaux et relation de récurrence) ?
Réponse : u_0 = 0 et pour tout n ∈ ℕ : u_{n+1} = 2 u_n + 1/(u_n + 2).
Question : Vérifier l'expression alternative donnée : quelle relation pour u_{n+1} en fonction de u_{n+2} faut-il montrer ?
Réponse : Il faut vérifier que u_{n+1} = 2 - 3/(u_{n+2}) pour tout n ∈ ℕ (relation à établir à partir de la définition).
Question : Comment montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, u_n ≥ 0 ?
Réponse : Initialisation : u_0 = 0 ≥ 0. Hérédité : si u_n ≥ 0 alors u_{n+1} = 2u_n + 1/(u_n+2) ≥ 0 car 2u_n ≥ 0 et 1/(u_n+2) > 0. Donc u_n ≥ 0 pour tout n.
Question : Comment montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, u_n < 1 ?
Réponse : Initialisation : u_0 = 0 < 1. Hérédité : partir de u_n < 1 et montrer u_{n+1}=2u_n+1/(u_n+2) < 1 en utilisant l'inégalité sur u_n (calcul à effectuer
Question : Exprimer la différence u_{n+1} − u_n en fonction de u_n.
Réponse : u_{n+1} − u_n = (2u_n + 1/(u_n+2)) − u_n = u_n + 1/(u_n+2).
Question : Que déduit-on de l'expression de u_{n+1} − u_n sur la monotonie de la suite ?
Réponse : Puisque u_n ≥ 0 et 1/(u_n+2) > 0, u_{n+1} − u_n > 0 pour tout n, donc la suite est strictement croissante.
Question : La suite (u_n) est-elle convergente ou divergente ?
Réponse : La suite est croissante et majorée (u_n < 1), donc convergente.
Question : On définit v_n = (u_n −1)/(u_n +1). Montrer que (v_n) est géométrique : quel est le rapport ?
Réponse : Il faut calculer v_{n+1} en fonction de v_n à partir de la définition de u_{n+1} ; le calcul mène à une relation de type v_{n+1} = q v_n montrant que
Question : Comment exprimer v_n en fonction de n une fois que c'est une suite géométrique ?
Réponse : Si v_{n+1}=q v_n alors v_n = v_0 · q^n, avec v_0 calculable depuis u_0 = 0: v_0 = (0−1)/(0+1) = −1, donc v_n = − q^n.
Question : Comment exprimer u_n en fonction de n à partir de v_n ?
Réponse : Résoudre v_n = (u_n −1)/(u_n +1) pour u_n donne u_n = (1+v_n)/(1−v_n). En remplaçant v_n = −q^n on obtient u_n explicite en fonction de n.