Résumé de Analyse des Suites Récurrentes

## Introduction Les suites numériques sont des objets fondamentaux en mathématiques : elles modélisent des processus itératifs et permettent d'étudier le comportement à long terme d'une suite de nombres. Ici nous analysons une suite définie par récurrence linéaire d'ordre 2, issue d'un sujet type BAC, et nous expliquons chaque étape pour un élève travaillant en autonomie. > Définition : Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. Une suite est dite récurrente si chaque terme $u_{n+1}$ (ou $u_{n+2}$) s'exprime à partir de termes précédents. ## Enoncé étudié On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = 0$$ $$u_{n+1} = 2u_n + 1\over u_{n+2},\quad n\in\mathbb{N}$$ Remarque : l'énoncé ci-dessus est présenté dans sa forme donnée. Pour clarifier, la relation donnée à vérifier en 1) conduit à une forme équivalente utile. ## 1) Vérification d'une relation équivalente On demande de vérifier que $$u_{n+1} = 2 - 3u_{n+2}\quad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}.$$ Pour vérifier cette égalité, il suffit d'utiliser la relation initiale et à la place de $u_n$ exprimer $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$, puis d'éliminer. Concrètement, réécrire la récurrence et isoler $u_{n+2}$ permet d'obtenir la relation cherchée. ## 2) Preuve par récurrence : positivité et minorations Nous démontrons deux propriétés par récurrence sur $n$. ### a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n\ge 0$ - Initialisation : $u_0=0\ge0$. - Hérédité : supposer $u_n\ge0$ et montrer $u_{n+1}\ge0$. Utiliser la relation de récurrence pour exprimer $u_{n+1}$ en fonction de termes connus et conclure que l'expression est non négative. Ainsi par récurrence $u_n\ge0$ pour tout $n$. ### b) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n<1$ - Initialisation : $u_0=0<1$. - Hérédité : supposer $u_n<1$ et montrer $u_{n+1}<1$. Utiliser la relation récurrente et des inégalités pour conclure. Conclusion : $0\le u_n<1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. > Définition : Une suite $(u_n)$ est **bornée** si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe $m,M$ tels que $m\le u_n\le M$ pour tout $n$. ## 3) Différence $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$ On exprime la variation entre deux termes consécutifs en manipulant la relation récurrente. Après simplification on obtient une formule du type $$u_{n+1}-u_n = f(u_n)$$ où $f$ est une expression linéaire en $u_n$. Cette écriture permet d'étudier la monotonie. ## 4) Monotonie de la suite Avec la formule précédente, on détermine le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant l'intervalle $0\le u_n<1$. Si $u_{n+1}-u_n\ge0$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est **croissante**. Si l'inégalité est strictement négative, elle est **décroissante**. L'étude du signe de $f(u_n)$ sur $[0,1)$ donne la monotonie. ## 5) Convergence ou divergence - Une suite monotone et bornée converge (théorème de la convergence monotone). - Puisque on a montré que $(u_n)$ est bornée ($0\le u_n<1$) et monotone (croissante ou décroissante selon le signe trouvé), on en déduit la convergence. - Calculer la limite $\ell$ en passant à la limite dans la relation récurrente : remplacer $u_n$, $u_{n+1}$, $u_{n+2}$ par $\ell$ et résoudre l'équation obtenue pour déterminer $\ell$. ## 6) Suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $$v_n = {u_n - 1 \over u_n + 1}.$$ ### a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique Calculer $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$, puis simplifier l'expression pour trouver une relation du type $$v_{n+1} = q\,v_n$$ avec un rapport constant $q$. Cela montre que $(v_n)$ est une suite géométrique. ### b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ Si $v_{n+1}=qv_n$ et $v_0$ est connu (calculable à partir de $u_0$), alors $$v_n = v_0\,q^n.$$ Calculer $v_0$ en substituant $u_0=0$ dans la définition de $v_n$.