Analyse de Suites Récurrentes: Guide Complet pour le BAC
20 questions
A. Ano
B. Ne
Explication : Pour déterminer la limite de la suite (u_n), nous utilisons les résultats des questions précédentes. D'après la question 6), la suite (v_n) est une suite géométrique de premier terme v_0 = (u_0 - 1) / (u_0 + 1) = (0 - 1) / (0 + 1) = -1 et de raison q = 1/3 (démontré en montrant que v_{n+1} = (1/3)v_n). Ainsi, v_n = -1 * (1/3)^n = -(1/3)^n. À partir de la définition de v_n = (u_n - 1) / (u_n + 1), on peut isoler u_n : v_n(u_n + 1) = u_n - 1 => v_n u_n + v_n = u_n - 1 => u_n(v_n - 1) = -1 - v_n => u_n = (1 + v_n) / (1 - v_n). En substituant v_n = -(1/3)^n, on obtient u_n = (1 - (1/3)^n) / (1 + (1/3)^n). Quand n tend vers l'infini, (1/3)^n tend vers 0. Par conséquent, la limite de u_n est (1 - 0) / (1 + 0) = 1.
A. Ano
B. Ne
Explication : Pour déterminer la monotonie de la suite (u_n), il faut étudier le signe de la différence u_n+1 - u_n. Selon la question 3 des matériaux d'étude, on exprime cette différence: u_n+1 - u_n = (2u_n + 1) / (u_n + 2) - u_n = (2u_n + 1 - u_n(u_n + 2)) / (u_n + 2) = (2u_n + 1 - u_n² - 2u_n) / (u_n + 2) = (1 - u_n²) / (u_n + 2). D'après la question 2 des matériaux d'étude, on a démontré par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n < 1. À partir de cela: - Le dénominateur (u_n + 2) est toujours positif car u_n ≥ 0, donc u_n + 2 ≥ 2. - Le numérateur (1 - u_n²) est toujours positif. En effet, puisque 0 ≤ u_n < 1, alors 0 ≤ u_n² < 1, ce qui implique que 1 - u_n² > 0. Comme le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs, la différence u_n+1 - u_n est strictement positive (u_n+1 - u_n > 0) pour tout n ∈ ℕ. Une suite dont la différence u_n+1 - u_n est toujours positive est une suite strictement croissante. Une suite strictement croissante est par définition monotone. Les matériaux d'étude demandent d'ailleurs d'en déduire que la suite est monotone (question 4).
A. Ano
B. Ne
Explication : La suite (u_n) est monotone d'après la question 4. De plus, les questions 2a et 2b prouvent que pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n < 1, ce qui signifie que la suite est bornée. Une suite monotone et bornée est convergente.
A. Ano
B. Ne
Explication : D'après les points 6) et 7) des matériaux d'étude, la suite (v_n) est géométrique avec v_n = -(1/3)^n. En utilisant la relation v_n = (u_n - 1) / (u_n + 1), on peut exprimer u_n en fonction de v_n par u_n = (1 + v_n) / (1 - v_n). En substituant v_n, on obtient u_n = (1 - (1/3)^n) / (1 + (1/3)^n). Lorsque n tend vers l'infini, (1/3)^n tend vers 0. Par conséquent, la limite de u_n quand n tend vers l'infini est (1 - 0) / (1 + 0) = 1.
A. Ano
B. Ne
Explication : D'après les étapes 3 et 4 des matériaux d'étude, la différence u_{n+1} - u_n est égale à (1 - u_n^2) / (u_n + 2). Étant donné que pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n < 1 (démontré à l'étape 2), le numérateur (1 - u_n^2) est strictement positif et le dénominateur (u_n + 2) est également strictement positif. Par conséquent, u_{n+1} - u_n > 0, ce qui indique que la suite (u_n) est croissante, et non décroissante.