Analyse de Suites Récurrentes: Guide Complet pour le BAC
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Question : Quelle est la relation de récurrence initiale donnée pour la suite (u_n) ?
Réponse : u_0 = 0 et u_{n+1} = 2u_n + 1/(u_n + 2) pour n ∈ ℕ.
Question : Montrer l'expression alternative donnée pour u_{n+1} en fonction de u_n+2.
Réponse : On vérifie que u_{n+1} = 2 - 3/(u_n + 2) pour tout n ∈ ℕ.
Question : Comment prouver par récurrence que pour tout n∈ℕ, u_n ≥ 0 ?
Réponse : Initialisation: u_0 = 0 ≥0. Hérédité: si u_n ≥0 alors u_{n+1}=2u_n +1/(u_n+2) avec u_n+2>0 donc u_{n+1}≥0. Ainsi vrai pour tout n.
Question : Comment prouver par récurrence que pour tout n∈ℕ, u_n < 1 ?
Réponse : Initialisation: u_0=0<1. Hérédité: si u_n<1 alors u_{n+1}=2 - 3/(u_n+2). Comme u_n+2>2, 3/(u_n+2)<3/2 donc u_{n+1}<2-... (démonstration donne u_{n+1}<
Question : Exprimer la différence u_{n+1}-u_n en fonction de u_n.
Réponse : u_{n+1}-u_n = (2u_n +1/(u_n+2)) - u_n = u_n + 1/(u_n+2).
Question : Que déduit-on de l'expression de u_{n+1}-u_n concernant la monotonie de la suite ?
Réponse : Puisque u_n ≥0 et 1/(u_n+2)>0, u_{n+1}-u_n>0 donc (u_n) est strictement croissante.
Question : La suite (u_n) converge-t-elle ou diverge-t-elle ?
Réponse : Comme (u_n) est croissante et majorée par 1, elle converge.
Question : On définit v_n = (u_n -1)/(u_n +1). Montrer que (v_n) est géométrique.
Réponse : Calcul à effectuer: en utilisant la relation de u_{n+1} en fonction de u_n, on montre que v_{n+1} = (1/3) v_n, donc (v_n) est géométrique de raison 1/
Question : Quelle est l'expression explicite de v_n en fonction de n ?
Réponse : v_n = v_0 * (1/3)^n. Avec u_0=0, v_0 = (0-1)/(0+1) = -1, donc v_n = - (1/3)^n.
Question : Comment exprimer u_n en fonction de n à partir de v_n ?
Réponse : Résoudre v_n = (u_n -1)/(u_n +1) pour u_n: u_n = (1+v_n)/(1 - v_n). En remplaçant v_n = - (1/3)^n donne u_n = (1 - (1/3)^n)/(1 + (1/3)^n).