Résumé de Analyse de Suites Récurrentes

## Introduction Les suites numériques sont des listes ordonnées de nombres indexées par un entier naturel $n$. Elles modélisent des processus itératifs en mathématiques, en économie, en physique, etc. Nous étudions ici une suite définie par une relation de récurrence linéaire: elle illustre les méthodes de preuve par récurrence, l'étude de monotonie, la convergence et la recherche d'une expression explicite. ### Problème étudié On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par: $$u_0 = 0$$ $$u_{n+1} = 2u_n + 1\over u_{n+2}, \quad n\in\mathbb{N}$$ Remarque: la forme donnée peut se réécrire et on vous demandera de vérifier une autre relation équivalente ci-dessous. > Définition: Une suite $\left(u_n\right)$ est dite *récurrente* si chaque terme s'exprime à partir de termes précédents par une formule de récurrence. ## 1. Vérification d'une relation équivalente On doit vérifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$: $$u_{n+1} = 2 - 3u_{n+2}$$ Pour vérifier, on part de la définition et on isole $u_{n+1}$ ou $u_{n+2}$ selon besoin. Si la récurrence fournie est de la forme $u_{n+1} = 2u_n + \dfrac{1}{u_{n+2}}$, il faut s'assurer de l'interprétation correcte; habituellement on obtient une relation linéaire entre $u_{n+1}$ et $u_{n+2}$ en multipliant par $u_{n+2}$ puis en réarrangeant. ## 2. Preuve par récurrence: bornes inférieures et supérieures ### Buts 1. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\; u_n \ge 0$. 2. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\; u_n < 1$. > Définition: Principe de récurrence: pour prouver une propriété $P(n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, on montre $P(0)$ puis $P(n)\Rightarrow P(n+1)$. Procédure (exemple pour $u_n\ge 0$): 1. Initialisation: $u_0 = 0$, donc $u_0 \ge 0$. 2. Hérédité: supposer $u_n \ge 0$ et utiliser la relation de récurrence pour en déduire $u_{n+1} \ge 0$. Procédure (exemple pour $u_n<1$): 1. Initialisation: $u_0 = 0 < 1$. 2. Hérédité: supposer $u_n < 1$ et montrer que la relation de récurrence entraîne $u_{n+1} < 1$. Remarque: il faut manipuler précisément la relation récurrente pour conclure (multiplication par termes positifs, etc.). ## 3. Différence entre deux termes consécutifs Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$. En général, si $u_{n+1} = f(u_n)$, alors $$u_{n+1}-u_n = f(u_n)-u_n$$ Ici on calcule explicitement en substituant la formule donnée. ## 4. Monotonie À partir du signe de $u_{n+1}-u_n$ on détermine si la suite est croissante, décroissante ou constante. - Si $u_{n+1}-u_n \ge 0$ pour tout $n$, la suite est **croissante**. - Si $u_{n+1}-u_n \le 0$ pour tout $n$, la suite est **décroissante**. Utiliser la bornes trouvées en 2) pour simplifier l'étude du signe. ## 5. Convergence ou divergence Une suite monotone et bornée converge. Ainsi: - Si la suite est croissante et majorée par $1$, elle converge vers une limite $\ell \le 1$. - La limite vérifie la relation d'équilibre obtenue en passant à la limite dans la récurrence: remplacer $u_n$ et $u_{n+1}$ par $\ell$ et résoudre. > Définition: Une suite converge vers $\ell$ si $\lim_{n\to\infty} u_n = \ell$. ## 6. Étude de la suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ On définit: $$v_n = {u_n - 1 \over u_{n+1}}$$ ### a) Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et vérifier qu'il existe $q$ tel que $v_{n+1} = q v_n$ pour tout $n$. ### b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ Si $v_n$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$, alors $$v_n = v_0 q^n$$ Il faut calculer $v_0$ puis la raison $q$ à partir des définitions. ## 7. Formule explicite de $u_n$ et limite Une fois $v_n$ connu, on résout pour $u_n$ à partir de $$v_n = {u_n - 1 \over u_{n+1}}$$ On obtient une expression en fonction de $n$ (souvent de la forme d'une somme de termes constants et d'une puissance de la raison). Puis on prend la limite $$\lim_{n\to\infty} u_n$$ en utilisant que les puissances de la raison géométrique tendent vers $0$ si $|q|<1$.