Resumen de Tablas de Contingencia y Árboles de Decisión

## Introducción Las tablas de contingencia son una herramienta gráfica y ordenada para organizar datos categóricos en dos (o más) dimensiones. Facilitan el conteo de casos, el cálculo de probabilidades conjuntas y marginales, y sirven de base para tomar decisiones cuando se dispone de información cruzada entre dos variables. En este material verás cómo construir tablas, cómo leerlas y cómo calcular probabilidades y proporciones a partir de ellas. > Definición: Una tabla de contingencia es una matriz que muestra la frecuencia absoluta o relativa de ocurrencia conjunta de dos variables categóricas, con totales marginales en filas y columnas. ## ¿Por qué usar tablas de contingencia? - Organizan datos complejos en una estructura fácil de interpretar. - Permiten calcular probabilidades marginales, conjuntas y condicionales de forma directa. - Son útiles en control de calidad, encuestas, estudios epidemiológicos y decisiones administrativas. ## Partes de una tabla de contingencia - Celdas internas: contienen las frecuencias de los eventos conjuntos (intersecciones). - Totales de fila y columna: frecuencias marginales (eventos simples). - Total general: suma de todas las observaciones, asegura consistencia. > Definición: Frecuencia marginal es la suma de las frecuencias de una fila o columna y representa la ocurrencia de un solo atributo sin considerar el otro. ## Cómo armar una tabla: pasos prácticos 1. Identificar las dos variables categóricas (por ejemplo: capacidad del envase y número de defectos). 2. Crear filas para las categorías de la primera variable y columnas para las categorías de la segunda. 3. Completar con los datos directos del problema en las celdas correspondientes. 4. Rellenar las celdas faltantes usando sumas y restas para que los totales coincidan. 5. Verificar que la suma de totales marginales sea igual al total general. ### Ejemplo práctico (adaptado del enunciado) Supongamos un lote de $1200$ botellas clasificadas por capacidad: $500\,$ml, $1000\,$ml y $1500\,$ml; y por número de defectos: menos de $2$ defectos (D) o $2$ o más defectos (E). Datos conocidos: - $400$ botellas son de $500\,$ml. - De las de $1500\,$ml, $200$ tienen menos de $2$ defectos. - Las botellas con $2$ o más defectos son $260$. - De las de $500\,$ml, $350$ tienen menos de $2$ defectos; $80$ de $500\,$ml tienen $2$ o más defectos. Pasos para completar la tabla: - Rellenar las celdas dadas: por ejemplo, celda $(500\,\text{ml},\text{menos de 2})=350$, celda $(500\,\text{ml},\text{2 o más})=80$, margen columna $500\,\text{ml}=400$. - Calcular las celdas restantes por resta: si el total de $1500\,$ml no está dado, pero sabemos que $200$ de $1500\,$ml tienen menos de $2$ defectos y que el total general y otros datos permiten completar la tabla. > Definición: Evento conjunto (A \cap D) es la ocurrencia simultánea de dos características, por ejemplo, ser de $1500\,$ml y tener menos de $2$ defectos. ## Tipos de probabilidades que se calculan con la tabla - Probabilidad marginal: $P(\text{500 ml}) = \dfrac{\#\text{500 ml}}{\#\text{total}}$. - Probabilidad conjunta: $P(\text{500 ml} \cap \text{2 o más}) = \dfrac{\#\text{(500 ml y 2 o más)}}{\#\text{total}}$. - Probabilidad condicional: $P(\text{1500 ml} \mid \text{2 o más}) = \dfrac{\#\text{(1500 ml y 2 o más)}}{\#\text{(2 o más)}}$. ## Ejercicios de aplicación (calculando probabilidades del ejemplo) Usando el lote de $1200$ botellas, podemos responder preguntas como: 1. Que una botella sea de $1500\,$ml: $P(C)=\dfrac{\#C}{1200}$. 2. Que tenga $2$ defectos o más: $P(E)=\dfrac{260}{1200}$. 3. Que sea de $1000\,$ml y tenga menos de $2$ defectos: $P(B\cap D)=\dfrac{\#(1000\,\text{ml} \cap D)}{1200}$. 4. Que tenga $2$ defectos o más, o sea de $500\,$ml: $P(E\cup A)=P(E)+P(A)-P(E\cap A)$. 5. Si se sabe que tiene $2$ defectos o más, que sea de $1500\,$ml: $P(C\mid E)=\dfrac{P(C\cap E)}{P(E)}$. > Definición: Eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden o