Resumen de Sucesiones y Progresiones Numéricas

## Introducción Las sucesiones son listas ordenadas de números que siguen una regla específica. Entender su comportamiento y fórmulas permite modelar procesos discretos en Matemáticas, Economía, Biología y Física. En este material veremos sucesiones aritméticas y geométricas, sus términos generales, sumas y ejemplos prácticos. > Definición: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos $\mathbb{N}$ y que asigna a cada $n\in\mathbb{N}$ un término $a_n$. ## 1. Conceptos básicos ### Término y posición - El término general se denota por $a_n$, que es el término en la posición $n$. - Primer término: $a_1$. ### Notación y operaciones frecuentes - Para obtener la razón entre términos consecutivos se usa $\displaystyle r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (en progresiones geométricas) y la diferencia se usa $\displaystyle d=a_{n+1}-a_n$ (en progresiones aritméticas). > Definición: La diferencia entre términos consecutivos $d$ se calcula como $d=a_{n+1}-a_n$. ## 2. Progresión Aritmética (P.A.) ### Definición > Definición: Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante e igual a $d$. ### Término general - Fórmula: $$a_n = a_1 + (n-1)\times d$$ - Ejemplo: Para la sucesión $2,5,8,11,\ldots$ se calcula $d=5-2=3$ y el término general es $$a_n = 2 + (n-1)\times 3$$ ### Suma de los primeros $n$ términos - Fórmula: $$S_n = n\times\frac{a_1 + a_n}{2}$$ - Caso útil: si conocemos $a_1$ y $d$, primero calculamos $a_n$ con la fórmula del término general y después aplicamos la fórmula de la suma. Ejemplo práctico: Suma de los primeros 6 términos de $1,3,5,7,\ldots$. - Diferencia: $d=2$. - Término $6$: $$a_6 = 1 + (6-1)\times 2 = 11$$ - Suma: $$S_6 = 6\times\frac{1+11}{2} = 6\times\frac{12}{2} = 36$$ ### Aplicaciones reales - Pagos periódicos con monto fijo incrementado por una cantidad fija. - Modelos lineales discretos: aumento constante de recursos por periodo. ## 3. Progresión Geométrica (P.G.) ### Definición > Definición: Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón $r$. ### Término general - Fórmula: $$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$ - Ejemplo: Para la sucesión $2,6,18,54,\ldots$ se tiene $a_1=2$, $r=3$ y $$a_n = 2 \times 3^{(n-1)}$$ - Cálculo del término 5: $$a_5 = 2 \times 3^{(5-1)} = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$$ ### Suma de una P.G. (caso $r\neq 1$) - Fórmula: $$S_n = a_1\times\frac{r^n - 1}{r - 1}$$ - Caso especial $r=1$: todos los términos son iguales a $a_1$ y entonces $$S_n = n\times a_1$$ Ejemplo práctico: Población que se duplica cada hora comenzando en 50. - Aquí $a_1=50$, $r=2$. - Tras 4 horas (término en la posición $5$ si contamos $a_1$ como hora 0, o posición $4$ según convención): usando la convención estándar $a_n=a_1 r^{n-1}$, tras 4 horas corresponde a $a_5=50\times 2^{4}=800$ o si piden "tras 4 horas" interpretando $n=4$, $a_4=50\times 2^{3}=400$. Es importante fijar la convención al problema. ### Aplicaciones reales - Crecimiento bacteriano, decaimiento radiactivo, intereses compuestos. ## 4. Comparación P.A. vs P.G. | Característica | Progresión Aritmética (P.A.) | Progresión Geométrica (P.G.) | |---|---:|---:| | Diferencia entre términos | Constante $d$ | Variable (multiplicada por $r$) | | Fórmula término general | $a_n = a_1 + (n-1)\times d$ | $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$ | | Suma de primeros $n$ términos | $S_n = n\times\dfrac{a_1 + a_n}{2}$ | $S_n = a_1\times\dfrac{r^n - 1}{r - 1}$, $r\neq 1$ | | Crecimiento | Lineal (constante) | Exponencial (si $|r|>1$) | ## 5. Errores comunes y consejos - No confundir la razón $r$ (multiplicativa) con la diferencia $d$ (aditiva). - Fijar la convención de índice: $a_1$ es el primer término; algunos problemas empiezan en $a_0$. - Al calcular sumas de P.G., verificar que $r\neq 1$ antes de usar la fórmula estándar. - Para términos grandes, comprobar si la interpretación del enunciado pide "tras t period