Test sobre Secciones Cónicas, Límites y Continuidad

Pregunta 1: En la actividad 1, al esbozar la gráfica de la cónica 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, se representa una figura con dos ramas abiertas que se alejan una de la otra.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La actividad 1 solicita esbozar la gráfica de la ecuación 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0. Esta ecuación corresponde a una elipse, no a una figura con dos ramas abiertas (que sería una hipérbola o una parábola en ciertos contextos). Por lo tanto, la descripción de la gráfica como una figura con dos ramas abiertas es incorrecta para esta elipse.

Pregunta 2: Dada la elipse 9𝑥 2 + 25𝑦 2 − 36𝑥 + 50𝑦 − 164 = 0, uno de sus focos es (2,-1).

A. Ano

B. Ne

Explicación: La elipse 9𝑥 2 + 25𝑦 2 − 36𝑥 + 50𝑦 − 164 = 0 tiene como uno de sus focos la coordenada (7,-1), según la alternativa correcta proporcionada en los materiales de estudio.

Pregunta 3: Dada la elipse: 𝑥 2 9 + 𝑦 2 16 = 1 , ¿Cuál de las siguientes alternativas, representa a los vértices?

A. (0,-4) y (0,-4)

B. (-3,0) y (3,0)

C. (0,-3) y (0,3)

D. (-4,0) y (4,0)

Explicación: La ecuación de la elipse es 𝑥 2 9 + 𝑦 2 16 = 1. En esta forma, 𝑎 2 = 16 y 𝑏 2 = 9, por lo tanto 𝑎 = 4 y 𝑏 = 3. Dado que 𝑎 2 está bajo 𝑦 2, el eje mayor es vertical. Los vértices de una elipse con centro en el origen y eje mayor vertical son (0, ±𝑎). Así, los vértices son (0, -4) y (0, 4). Según las alternativas proporcionadas en el material de estudio, la opción (0,-4) y (0,-4) es la única que contiene uno de los vértices correctos, y asumiendo una errata en la segunda coordenada, se selecciona la opción más aproximada de las dadas.

Pregunta 4: Dada la ecuación de la cónica 𝑦 2 − 4𝑦 − 8𝑥 + 12 = 0, ¿cuál de las siguientes opciones corresponde a su ecuación canónica?

A. (𝑦 − 2) 2 = 8(𝑥 + 1)

B. (𝑦 − 2) 2 = 8(𝑥 − 1)

C. (𝑦 + 2) 2 = 8(𝑥 − 1)

D. (𝑦 − 4) 2 = 8(𝑥 − 1)

Explicación: Para encontrar la ecuación canónica de 𝑦 2 − 4𝑦 − 8𝑥 + 12 = 0, se agrupan los términos de y y se mueven los términos restantes al otro lado: 𝑦 2 − 4𝑦 = 8𝑥 − 12. Luego, se completa el cuadrado para los términos de y: 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 8𝑥 − 12 + 4. Esto resulta en (𝑦 − 2) 2 = 8𝑥 − 8. Finalmente, se factoriza el lado derecho: (𝑦 − 2) 2 = 8(𝑥 − 1).

Pregunta 5: El valor del límite de la función lim 𝑥→1 √2−𝑥 −1 / (𝑥−1) es −1/2.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el ITEM de Alternativas, el valor del límite lim 𝑥→1 √2−𝑥 −1 / (𝑥−1) se indica como B) −1/2. Por lo tanto, la afirmación es correcta.