Resumen de Secciones Cónicas, Límites y Continuidad
Secciones Cónicas, Límites y Continuidad: Guía Completa
Introducción
La teoría de límites y continuidad es la base del cálculo diferencial e integral. Entender límites permite describir el comportamiento de funciones cerca de puntos y en el infinito, y la continuidad formaliza cuándo una función no presenta saltos ni discontinuidades en su dominio.
Definición: Un límite $\lim_{x \to a} f(x)=L$ significa que los valores de $f(x)$ se aproximan arbitrariamente a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$.
Definición: La función $f$ es continua en $a$ si $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$.
Conceptos básicos desglosados
1. Tipos de límites
- Límite finito cuando $x$ tiende a un punto finito: $\lim_{x \to a} f(x)$.
- Límite en el infinito: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
- Límite lateral derecho: $\lim_{x \to a^{+}} f(x)$.
- Límite lateral izquierdo: $\lim_{x \to a^{-}} f(x)$.
Definición: Un límite lateral existe cuando la aproximación se realiza desde un solo lado del punto.
2. Reglas básicas para calcular límites
- Suma y resta: $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$ si ambos límites existen.
- Producto: $\lim_{x \to a} f(x) g(x)=\left(\lim_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$.
- Cociente: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ si $\lim_{x \to a} g(x)\neq 0$.
- Límite de composición: si $\lim_{x \to a} g(x)=L$ y $f$ es continua en $L$, entonces $\lim_{x \to a} f(g(x))=f(L)$.
3. Límites que dan forma a continuidad
- Si ambos límites laterales coinciden: $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\lim_{x \to a^{+}} f(x)=L$ y $f(a)=L$, entonces $f$ es continua en $a$.
- Si alguno de los tres (lado izquierdo, lado derecho, valor) difiere, hay discontinuidad (removible, salto o esencial).
Técnicas comunes para resolver límites
- Simplificación algebraica: factorizar y cancelar factores comunes.
- Racionalización: usar conjugados para eliminar raíces.
- División por la mayor potencia de $x$ cuando $x \to \pm\infty$.
- Uso de límites notables y exponenciales: $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{c}{x}\right)^{kx}=e^{ck}$.
- Sustitución directa cuando la función es continua en el punto.
Ejemplos resueltos (paso a paso)
Ejemplo A
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\sqrt{x+1}}{3x+2}\right).$$
Paso 1: Para $x \to +\infty$ es útil dividir numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador. Observa que $\sqrt{x+1}=x^{1/2}\sqrt{1+1/x}$.
$$\frac{\sqrt{x+1}}{3x+2}=\frac{x^{1/2}\sqrt{1+1/x}}{x\left(3+2/x\right)}=\frac{1}{x^{1/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+1/x}}{3+2/x}.$$
Paso 2: Tomar límite cuando $x\to +\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^{1/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+1/x}}{3+2/x}=0\cdot \frac{1}{3}=0.$$
Respuesta: $\boxed{0}$.
Ejemplo B
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{3}{x-1}\right)^x.$$
Paso 1: Reescribir para usar el límite exponencial notable. Sea $a_x=\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^{x-1}$, entonces
$$\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^x=\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^{x-1}\left(1-\frac{3}{x-1}\right).$$
Paso 2: Tomar límites separados. Sabemos que si $n\to \infty$ entonces $\left(1+\frac{u}{n}\right)^n\to e^{u}$; aquí sustituimos con $u=-3$ y variable $n=x-1$. Entonces
$$\lim_{x \to +\infty}\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^{x-1}=e^{-3}.$$
También $\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{3}{x-1}\right)=1.$
Por tanto
$$\lim_{x \to +\infty}\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^x=e^{-3}\cdot 1=e^{-3}.$$
Respuesta: $\boxed{e^{-3}}$.
Ejemplo C
Calcular $$\lim_{x \to 1/2} \frac{\sin(2x-1)}{4x^{2}-1}.$$
Paso 1: Observa que cuando $x\to 1/2$ tanto numerador como denominador tienden a 0, caso de forma $0/0$. Factoriza el denominador:
$$4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1).$$
Paso 2: Notar que $\sin(2x-1)$ es función con argumento pequeño $u=2x-1$. Entonces
$$\frac{\sin(2x-1)}{4x^{2}-1}=\frac{\sin(2x-1)}{2x-1}\cdot \frac{1}{2x+1}.$$
Paso 3: Tomar límite usando $\lim_{u\t
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Límites y continuidad
Klíčové pojmy: Límite: $\lim_{x \to a} f(x)=L$ significa comportamiento cercano a $a$, Continuidad en $a$ requiere $f(a)$ definido y $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$, Para $x\to\infty$ dividir por la mayor potencia de $x$ para simplificar, Límite exponencial: $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{u}{n}\right)^{n}=e^{u}$, Límite trigonométrico: $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$, Racionalización útil para expresiones con raíces conjugadas, Para continuidad por tramos igualar límites laterales en puntos de unión, Discontinuidad removible se corrige redefiniendo el valor en el punto, Asíntota horizontal si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ es finito, Usar sustitución directa cuando la función es continua en el punto