Resumen de Secciones Cónicas, Límites y Continuidad

## Introducción La teoría de **límites y continuidad** es la base del cálculo diferencial e integral. Entender límites permite describir el comportamiento de funciones cerca de puntos y en el infinito, y la continuidad formaliza cuándo una función no presenta saltos ni discontinuidades en su dominio. > Definición: Un límite $\lim_{x \to a} f(x)=L$ significa que los valores de $f(x)$ se aproximan arbitrariamente a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$. > Definición: La función $f$ es continua en $a$ si $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$. ## Conceptos básicos desglosados ### 1. Tipos de límites - Límite finito cuando $x$ tiende a un punto finito: $\lim_{x \to a} f(x)$. - Límite en el infinito: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. - Límite lateral derecho: $\lim_{x \to a^{+}} f(x)$. - Límite lateral izquierdo: $\lim_{x \to a^{-}} f(x)$. > Definición: Un límite lateral existe cuando la aproximación se realiza desde un solo lado del punto. ### 2. Reglas básicas para calcular límites - Suma y resta: $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$ si ambos límites existen. - Producto: $\lim_{x \to a} f(x) g(x)=\left(\lim_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$. - Cociente: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ si $\lim_{x \to a} g(x)\neq 0$. - Límite de composición: si $\lim_{x \to a} g(x)=L$ y $f$ es continua en $L$, entonces $\lim_{x \to a} f(g(x))=f(L)$. ### 3. Límites que dan forma a continuidad - Si ambos límites laterales coinciden: $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\lim_{x \to a^{+}} f(x)=L$ y $f(a)=L$, entonces $f$ es continua en $a$. - Si alguno de los tres (lado izquierdo, lado derecho, valor) difiere, hay discontinuidad (removible, salto o esencial). ## Técnicas comunes para resolver límites 1. Simplificación algebraica: factorizar y cancelar factores comunes. 2. Racionalización: usar conjugados para eliminar raíces. 3. División por la mayor potencia de $x$ cuando $x \to \pm\infty$. 4. Uso de límites notables y exponenciales: $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{c}{x}\right)^{kx}=e^{ck}$. 5. Sustitución directa cuando la función es continua en el punto. ## Ejemplos resueltos (paso a paso) ### Ejemplo A Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\sqrt{x+1}}{3x+2}\right).$$ Paso 1: Para $x \to +\infty$ es útil dividir numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador. Observa que $\sqrt{x+1}=x^{1/2}\sqrt{1+1/x}$. $$\frac{\sqrt{x+1}}{3x+2}=\frac{x^{1/2}\sqrt{1+1/x}}{x\left(3+2/x\right)}=\frac{1}{x^{1/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+1/x}}{3+2/x}.$$ Paso 2: Tomar límite cuando $x\to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^{1/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+1/x}}{3+2/x}=0\cdot \frac{1}{3}=0.$$ Respuesta: $\boxed{0}$. ### Ejemplo B Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{3}{x-1}\right)^x.$$ Paso 1: Reescribir para usar el límite exponencial notable. Sea $a_x=\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^{x-1}$, entonces $$\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^x=\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^{x-1}\left(1-\frac{3}{x-1}\right).$$ Paso 2: Tomar límites separados. Sabemos que si $n\to \infty$ entonces $\left(1+\frac{u}{n}\right)^n\to e^{u}$; aquí sustituimos con $u=-3$ y variable $n=x-1$. Entonces $$\lim_{x \to +\infty}\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^{x-1}=e^{-3}.$$ También $\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{3}{x-1}\right)=1.$ Por tanto $$\lim_{x \to +\infty}\left(1-\frac{3}{x-1}\right)^x=e^{-3}\cdot 1=e^{-3}.$$ Respuesta: $\boxed{e^{-3}}$. ### Ejemplo C Calcular $$\lim_{x \to 1/2} \frac{\sin(2x-1)}{4x^{2}-1}.$$ Paso 1: Observa que cuando $x\to 1/2$ tanto numerador como denominador tienden a 0, caso de forma $0/0$. Factoriza el denominador: $$4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1).$$ Paso 2: Notar que $\sin(2x-1)$ es función con argumento pequeño $u=2x-1$. Entonces $$\frac{\sin(2x-1)}{4x^{2}-1}=\frac{\sin(2x-1)}{2x-1}\cdot \frac{1}{2x+1}.$$ Paso 3: Tomar límite usando $\lim_{u\t