Secciones Cónicas, Límites y Continuidad: Guía Completa
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Pregunta: ¿Qué tipo de cónica es la ecuación 9x^2 + 25y^2 − 36x + 50y − 164 = 0 ?
Respuesta: Es una elipse (coeficientes de x^2 y y^2 son positivos y diferentes).
Pregunta: ¿Cuál es la forma canónica (centrada) de la elipse obtenida al completar cuadrados en 9x^2 + 25y^2 − 36x + 50y − 164 = 0 ?
Respuesta: Tras completar cuadrados se obtiene la ecuación canónica de una elipse (forma con términos (x−h)^2/a^2 + (y−k)^2/b^2 = 1). (Procedimiento: agrupar, fa
Pregunta: ¿Qué elementos principales deben identificarse para una elipse luego de hallar su ecuación canónica?
Respuesta: Centro (h,k), semiejes a y b, vértices (h±a,k) o (h,k±a) según orientación, focos (h±c,k) o (h,k±c) con c^2 = a^2 − b^2, y excentricidad e = c/a.
Pregunta: Para la elipse dada en el ejercicio, ¿cómo se calcula la distancia focal c?
Respuesta: Calculando c = sqrt(a^2 − b^2) donde a es el semieje mayor y b el semieje menor obtenidos de la ecuación canónica.
Pregunta: En la alternativa múltiple, ¿cuál es uno de los focos de la elipse 9x^2 + 25y^2 − 36x + 50y − 164 = 0 según las opciones dadas?
Respuesta: Una de las opciones correctas corresponde a uno de los focos: (2,−1) [opción a]. (La opción proviene del ejercicio dado).
Pregunta: ¿Qué tipo de cónica es la ecuación y^2 − 4y − 8x + 12 = 0 ?
Respuesta: Es una parábola (solo aparece y^2 entre los cuadrados).
Pregunta: ¿Cómo se pone en forma canónica la parábola y^2 − 4y − 8x + 12 = 0 ?
Respuesta: Completar el cuadrado en y: (y−2)^2 −4 −8x +12 =0 ⇒ (y−2)^2 = 8(x+1). Esa es la forma canónica de una parábola con eje horizontal.
Pregunta: Para la parábola (y−2)^2 = 8(x+1), ¿cuál es el vértice y la distancia focal p?
Respuesta: Vértice: (−1,2). Forma (y−k)^2 = 4p(x−h) ⇒ 4p = 8 ⇒ p = 2. Foco: (h+p, k) = (−1+2, 2) = (1,2). Directriz: x = h − p = −3.
Pregunta: Verdadero o falso: en la hipérbola 9x^2 −16y^2 +18x +96y −279 = 0 uno de los vértices es (5,3).
Respuesta: Respuesta: (indicar si es Verdadero o Falso) — el ejercicio pide justificar con desarrollo. (Enunciado presenta esta afirmación para evaluar su veraci
Pregunta: Verdadero o falso: para la parábola (y − 2)^2 = 8(x + 1) el vértice es (1,2).
Respuesta: Falso. El vértice es (−1,2) porque la forma canónica es (y−2)^2 = 8(x+1) ⇒ centro desplazado a x = −1.