Resumen de Resolución de Sistemas de Ecuaciones con GeoGebra

## Introducción Las representaciones gráficas de ecuaciones permiten visualizar el comportamiento de funciones y la relación entre distintas curvas en el plano. En este material veremos cómo graficar rectas y parábolas, interpretar sus intersecciones y usar ejemplos prácticos para comprender mejor conceptos clave como pendientes, vértices y puntos de corte. > **Definición:** Una **recta** puede expresarse como $y = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen. Una **parábola** de segundo grado tiene forma $y = ax^2 + bx + c$, donde $a$ controla la concavidad, $b$ la simetría y $c$ la intersección con el eje $y$. ## Conceptos básicos ### Ecuaciones lineales (rectas) - Forma general: $y = mx + b$. - Interpretación de parámetros: - Pendiente $m$: cambio en $y$ por unidad en $x$. - Ordenada al origen $b$: valor de $y$ cuando $x = 0$. - Ejemplo práctico: La recta $y = -1.5x + 8.5$ tiene pendiente $m = -1.5$ y $b = 8.5$. ### Ecuaciones cuadráticas (parábolas) - Forma general: $y = ax^2 + bx + c$. - Propiedades: - Si $a > 0$ la parábola abre hacia arriba; si $a < 0$ abre hacia abajo. - El vértice se ubica en $x = -\frac{b}{2a}$ y su valor de $y$ se obtiene sustituyendo en la función. - Ejemplo práctico: $y = 2x^2 - 4x - 2$ tiene $a = 2$, vértice en $x = -\frac{-4}{2\cdot 2} = 1$. > **Definición:** El **vértice** de una parábola es el punto que representa el mínimo o máximo de la función cuadrática, según la concavidad. ## Representación gráfica y puntos de corte - Dos curvas se intersectan en los puntos donde sus expresiones para $y$ son iguales. - Para encontrar intersecciones entre una recta y una parábola o entre dos parábolas se resuelve la ecuación resultante al igualar ambas expresiones en $y$. Ejemplo 1: Intersección entre la recta $y = -1.5x + 8.5$ y la parábola $y = 2x^2 - 4x - 2$. Sustituimos y resolvemos: $$-1.5x + 8.5 = 2x^2 - 4x - 2$$ Llevando todos los términos a la derecha: $$0 = 2x^2 - 4x - 2 + 1.5x - 8.5$$ Simplificando: $$0 = 2x^2 - 2.5x - 10.5$$ Esta cuadrática puede factorizarse o resolverse con la fórmula cuadrática para obtener las soluciones $x = 3$ y $x = -\frac{7}{4}$. Sustituyendo en la recta obtenemos $y = 4$ y $y = \frac{89}{8}$ respectivamente. Ejemplo 2: Intersección entre la recta $y = -1.5x + 8.5$ y la parábola $y = -3x^2 + 4x + 2$. Al igualarlas obtenemos una ecuación cuadrática que, en este caso, no tiene soluciones reales; geométricamente esto significa que la recta y la parábola no se cortan. Ejemplo 3: Intersección entre las parábolas $y = 2x^2 - 4x - 2$ y $y = -3x^2 + 4x + 2$. Al igualarlas: $$2x^2 - 4x - 2 = -3x^2 + 4x + 2$$ Llevando todo a un lado: $$0 = -5x^2 + 8x + 4$$ Resolviendo se encuentran las intersecciones $x = 2$ y $x = -\frac{7}{4}$. Sustituyendo se obtienen los pares $(2,-2)$ y $\left(-\frac{7}{4},-\frac{8}{49}\right)$. ## Procedimiento para graficar en una vista gráfica (pasos prácticos) 1. Escribir cada ecuación en la barra de entrada en la forma $y = \cdots$. 2. Ajustar la ventana de visualización para incluir los vértices y posibles puntos de intersección. 3. Identificar visualmente las intersecciones y verificar resolviendo algebraicamente si es necesario. 4. Marcar los puntos de interés: intersecciones, vértice y ordenada al origen. > **Definición:** Un **punto de intersección** es un punto $(x,y)$ que satisface simultáneamente dos ecuaciones diferentes. ## Comparación: recta vs parábola | Característica | Recta | Parábola | |---|---:|---:| | Ecuación típica | $y = mx + b$ | $y = ax^2 + bx + c$ | | Número de intersecciones posibles con otra curva | 0, 1, 2 | 0, 1, 2 | | Curvatura | Ninguna (lineal) | Curvatura según $a$ | | Parámetros principales | $m$, $b$ | $a$, $b$, $c$ | ## Aplicaciones reales - Modelado de trayectorias en física: la posición vertical de un proyectil sigue una parábola $y = ax^2 + bx + c$ cuando la resistencia es despreciable. - Economía: rectas representan costos o ingresos marginales en modelos lineales. - Ingenie