Resumen de Resolución de Ecuaciones Logarítmicas

## Introducción Las **ecuaciones logarítmicas** son ecuaciones en las que la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo. El objetivo al resolverlas es usar las propiedades de los logaritmos para "desarmar" esos logaritmos y dejar la variable libre para despejarla. > Definición: Una ecuación logarítmica es cualquier ecuación en la que la incógnita $x$ aparece dentro de la expresión $\log_b\left(\;\cdot\;\right)$, donde $b>0$, $b\neq 1$. ## Conceptos básicos y propiedades útiles ### Propiedades de logaritmos (para juntar o separar) - Suma de logaritmos: $\log_b A + \log_b B = \log_b\left(AB\right)$ - Resta de logaritmos: $\log_b A - \log_b B = \log_b\left(\dfrac{A}{B}\right)$ - Potencia dentro del logaritmo: $k\,\log_b A = \log_b\left(A^{k}\right)$ > Definición: La definición de logaritmo $\log_b A = C$ significa que $b^{C} = A$. ### Restricción importante - El argumento de cualquier logaritmo debe ser positivo: si aparece $\log_b\left(f(x)\right)$ entonces siempre deben cumplirse $f(x)>0$. ## Pasos claros para resolver ecuaciones logarítmicas 1. Comprimir todo en un único logaritmo en cada lado donde haya varios logaritmos. Usa las propiedades al revés: suma → multiplicar, resta → dividir, factor → potencia. 2. Eliminar el logaritmo: - Caso A: Si tienes $\log_b\left(\text{expresión}\right)=C$ (un número), aplica la definición y escribe $\text{expresión}=b^{C}$. - Caso B: Si tienes $\log_b\left(A\right)=\log_b\left(B\right)$, puedes igualar los argumentos: $A=B$ (siempre que la base sea la misma y los argumentos sean positivos). 3. Resolver la ecuación resultante (puede ser lineal, cuadrática u otra) y verificar las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original para asegurarte de que los argumentos sean positivos. ## Ejemplos prácticos ### Ejemplo 1 — Un logaritmo igual a un número Resolver $\log_2\left(3x-1\right)=4$. Aplicamos la definición del logaritmo: $$3x-1 = 2^{4}$$ $$3x-1 = 16$$ Sumar 1: $$3x = 17$$ Dividir entre 3: $$x = \dfrac{17}{3}$$ Verificación: el argumento queda $3\cdot\dfrac{17}{3}-1=17-1=16>0$, así que la solución es válida. ### Ejemplo 2 — Dos logaritmos en el mismo lado Resolver $\log_{10}\left(x\right)+\log_{10}\left(x-2\right)=1$. Comprimimos usando suma → producto: $$\log_{10}\left(x(x-2)\right)=1$$ Aplicamos la definición: $x(x-2)=10^{1}$ $$x^{2}-2x = 10$$ Llevamos todo a un lado: $$x^{2}-2x-10=0$$ Resolución por fórmula cuadrática: $$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-10)}}{2}$$ $$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+40}}{2}$$ $$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{44}}{2}$$ $$x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2}$$ $$x = 1 \pm \sqrt{11}$$ Verificamos: $x=1+\sqrt{11}\approx 4.317$ da argumentos $x>0$ y $x-2>0$; $x=1-\sqrt{11}\approx -2.317$ hace $x<0$ y además $x-2<0$, por lo que se descarta. Solución válida: $x=1+\sqrt{11}$. ### Ejemplo 3 — Logaritmos en ambos lados (misma base) Resolver $\log_3\left(2x+1\right)=\log_3\left(x^{2}\right)$. Como las bases son iguales y los logaritmos están igualados, igualamos argumentos: $$2x+1 = x^{2}$$ Llevamos todo a un lado: $$0 = x^{2}-2x-1$$ Resolución: $$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$ Verificación: para $x=1+\sqrt{2}>0$ los argumentos son positivos; para $x=1-\sqrt{2}\approx -0.414$ el argumento $2x+1$ es positivo ($2(1-\sqrt{2})+1=3-2\sqrt{2}>0$) pero $x^{2}>0$ siempre; sin embargo debe comprobarse numéricamente que ambos argumentos son positivos: $x=1-\sqrt{2}$ da $2x+1\approx 0.1716>0$ y $x^{2}\approx 0.1716>0$, por lo que ambas soluciones son válidas. ## Tabla comparativa: cuándo usar cada técnica | Situación | Técnica principal | Resultado inmediato | |---|---:|---| | Varios logaritmos sumados o restados | Usar propiedades para combinar en 1 logaritmo | Un solo logaritmo por lado | | Logaritmo = número | Aplicar definición $b^{C}$ | Ecuación algebraica común | | Logaritmo = logaritmo (misma base) | Igualar argumentos | Ecuación algebraica común | | Soluciones encontradas | Verificar argumentos > 0