Resumen de Repaso Integral de Matemáticas

## Introducción Breve repaso de conceptos fundamentales de álgebra y funciones para el ingreso universitario, con ejercicios resueltos y explicaciones paso a paso. Este material cubre funciones cuadráticas, resolución de ecuaciones, sistemas lineales, y propiedades de logaritmos y exponentes aplicadas a problemas reales. > Definición: Una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del codominio. En notación: $f\colon A \to B$. ## 1. Funciones cuadráticas ### Forma general y vértice La función cuadrática tiene forma $$f(x)=ax^2+bx+c$$ donde $a\neq 0$. El vértice $V\left(h;k\right)$ se obtiene por: $$h=-\frac{b}{2a}$$ $$k=f(h)$$ > Definición: El vértice de una parábola es el punto donde cambia la dirección (máximo o mínimo) de la función cuadrática. Ejemplo práctico: Sea $s(t)=-t^2+10t+24$ que modela la altura (m) de un objeto en función del tiempo $t$ (s). - Altura inicial (cuando $t=0$): $$s(0)=24$$ - Instante de máximo: $$h=-\frac{10}{2(-1)}=5$$ - Altura máxima: $$s(5)=-25+50+24=49$$ - Tiempo en que llega al piso: resolver $s(t)=0$ $$-t^2+10t+24=0$$ Usando fórmula cuadrática: $$t=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4(-1)(24)}}{2(-1)}$$ $$t=\frac{-10\pm\sqrt{100+96}}{-2}$$ $$t=\frac{-10\pm\sqrt{196}}{-2}$$ $$t=\frac{-10\pm14}{-2}$$ Soluciones: $t=-12$ (descartar por negativo) y $t=12$ s. Did you know que muchas trayectorias de proyectiles (sin resistencia del aire) se modelan exactamente con parábolas y convirtiern tareas de ingeniería en problemas de álgebra cuadrática? ### Construir una parábola a partir de vértice y punto Si el vértice es $V(h;k)$ y la parábola corta al eje $y$ en $(0;c)$, la forma vértice-escalada es: $$f(x)=a\left(x-h\right)^2+k$$ Determinar $a$ imponiendo $f(0)=c$. Ejemplo: vértice $V=(-1;12)$ y $f(0)=11$. Imponemos: $$11=a\left(0+1\right)^2+12$$ $$11=a+12$$ $$a=-1$$ Entonces: $$f(x)=-\left(x+1\right)^2+12$$ Para hallar raíces resolvemos $$-\left(x+1\right)^2+12=0$$ $$\left(x+1\right)^2=12$$ $$x+1=\pm\sqrt{12}$$ $$x=-1\pm 2\sqrt{3}$$ ## 2. Raíces y multiplicidad - Las raíces (ceros) de $f(x)=ax^2+bx+c$ se hallan con la fórmula cuadrática. - El discriminante $\Delta=b^2-4ac$ determina la naturaleza de raíces: - $\Delta>0$: dos raíces reales distintas - $\Delta=0$: una raíz real doble - $\Delta<0$: raíces complejas ## 3. Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables Una recta se escribe como $y=mx+b$ o en forma implícita $Ax+By+C=0$. Para dos rectas: - Si pendientes iguales y ordenadas distintas: sistema incompatible (paralelas). - Si pendientes distintas: un único punto de intersección. - Si son la misma recta: infinitas soluciones. Ejemplo: Sistema $$y=3x+4$$ $$y=3x+k$$ Para que sea incompatible (paralelas y distintas) las pendientes deben ser iguales y las ordenadas al origen distintas. Aquí pendiente $m=3$ en ambas, por lo tanto incompatible si $4\neq k$. En el ejercicio se pide $k=8$ para que las rectas sean $y=3x+4$ y $y=3x-6$, que efectivamente son paralelas e incompatibles. Intersección de rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$. Ejemplo: hallar $a$ para que las rectas $$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$$ y $$y=ax$$ sean perpendiculares. Pendiente primera $m_1=\frac{3}{4}$, segunda $m_2=a$. Deben cumplir $m_1 m_2=-1$, entonces: $$a=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{3/4}=-\frac{4}{3}$$ Para ese $a$ la intersección se halla resolviendo: $$ax=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$$ Sustituyendo $a=-\frac{4}{3}$: $$-\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$$ Multiplicar por 12 para limpiar denominadores: $$-16x=9x+27$$ $$-25x=27$$ $$x=-\frac{27}{25}$$ Y $$y=a x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{27}{25}\right)=\frac{108}{75}=\frac{36}{25}$$ Intersección: $\left(-\frac{27}{25};\frac{36}{25}\right)$. Fun fact: El método de sustitución y el método de determinantes (Cramer) son equivalentes para sistemas lineales 2x2 pero Cramer es más directo cuando las incógnitas aparecen en forma lineal homogénea. ## 4. Logaritmos y ecu