Resumen de Reglas Fundamentales de Diferenciación

## Introducción El **cálculo diferencial** estudia cómo cambian las funciones respecto a sus variables. La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea y es una herramienta fundamental en matemáticas, física, economía e ingeniería. En este material repasaremos las reglas básicas de derivación, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, con ejemplos y aplicaciones. > Definición: La derivada de una función $f$ en un punto $x$ es el límite $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ cuando existe. ## Reglas básicas de derivación Descomponemos las reglas en pasos simples y mostrables. ### Constantes y potencias - Regla de constante: $$\frac{d}{dx}k=0\quad\text{si }k\text{ es constante.}$$ - Regla de la identidad: $$\frac{d}{dx}x=1.$$ - Potencias: para $n$ real, $$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}.$$ - Constante multiplicativa: $$\frac{d}{dx}\left(k\,f(x)\right)=k\,\frac{d}{dx}f(x).$$ Ejemplo 1: Derivar $f(x)=5x^3$. Aplicando la regla de potencia y la constante: $$f'(x)=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.$$ ### Suma y resta - Linealidad: $$\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x),$$ $$\frac{d}{dx}\left[f(x)-g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x).$$ Ejemplo 2: Para $h(x)=x^2+3x$, $$h'(x)=2x+3.$$ ### Producto y cociente - Producto: $$\frac{d}{dx}\left[u(x)v(x)\right]=u(x)\frac{d}{dx}v(x)+v(x)\frac{d}{dx}u(x).$$ - Cociente: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v(x)\frac{d}{dx}u(x)-u(x)\frac{d}{dx}v(x)}{\left(v(x)\right)^{2}}.$$ Ejemplo 3: Si $u(x)=x^2$ y $v(x)=\sin x$, entonces $$\frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right)=x^{2}\cos x+\sin x\cdot 2x.$$ ### Regla de la cadena - Potencias de una función: $$\frac{d}{dx}u(x)^n=nu(x)^{n-1}\frac{d}{dx}u(x).$$ - Regla general: si $y=f(u)$ y $u=g(x)$, entonces $$\frac{dy}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}.$$ Ejemplo 4: Para $y=(3x+1)^4$ se tiene $$y'=4(3x+1)^{3}\cdot 3=12(3x+1)^{3}.$$ > Definición: La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas aplicando derivadas internas y externas. ## Derivadas de funciones elementales ### Funciones raíz - Derivada de la raíz cuadrada (caso general mediante cadena): $$\frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\frac{d}{dx}u(x).$$ Ejemplo 5: $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$, entonces $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.$$ ### Funciones trigonométricas Tabla de derivadas trigonométricas principales: | Función | Derivada | | --- | --- | | $\sin u$ | $\cos u\;\frac{d}{dx}u$ | | $\cos u$ | $-\sin u\;\frac{d}{dx}u$ | | $\tan u$ | $\sec^{2}u\;\frac{d}{dx}u$ | | $\cot u$ | $-\csc^{2}u\;\frac{d}{dx}u$ | | $\sec u$ | $\sec u\tan u\;\frac{d}{dx}u$ | | $\csc u$ | $-\csc u\cot u\;\frac{d}{dx}u$ | Ejemplo 6: Si $y=\sin(2x)$, entonces $$y'=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).$$ Did you know que la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ y esto se usa para modelar movimiento armónico simple en física? ### Logarítmicas y exponenciales - Logaritmo natural: $$\frac{d}{dx}\ln u=\frac{1}{u}\frac{d}{dx}u.$$ - Logaritmo en base $a$: $$\frac{d}{dx}\log_{a}u=\frac{1}{u\ln a}\frac{d}{dx}u.$$ - Exponencial natural: $$\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\frac{d}{dx}u.$$ - Exponencial base $a$: $$\frac{d}{dx}a^{u}=a^{u}\ln a\;\frac{d}{dx}u.$$ Ejemplo 7: Para $f(x)=e^{3x}$, $$f'(x)=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.$$ Fun fact: La función exponencial $e^{x}$ es su propia derivada, propiedad que la hace central en modelos de crecimiento y decaimiento. ## Propiedades de exponentes y radicales (recordatorio clave) Tabla comparativa de propiedades útiles para simplificar antes de derivar: | Exponentes | Identidad | Radicales | | --- | --- | --- | | $a^{1}=a$ | $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ | $\sqrt[n]{a^{n}}=a$ (cuando corresponde el signo) | | $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ | $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ | $\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ | | $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ | $\dfrac{1}{a^{n}}=a^{-n}$ | | Nota: Antes de derivar es frecuente reescribir raíces como potencias $\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$ para usar la