Test sobre Problemas Resueltos de Matemáticas

Pregunta 1: El valor de $\sin(2\alpha)$ calculado es $-\frac{120}{169}$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El cálculo para $\sin(2\alpha)$ es $2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{-5}{13} = -\frac{120}{169}$.

Pregunta 2: Con base en los materiales proporcionados, la expresión para calcular $\sin \alpha$ es $\frac{-13}{17} = (-8)^2 + x^2 - \frac{-15}{17} = (-2) \cdot x = 15$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales presentan la expresión $\sin \alpha = \frac{-13}{17} = (-8)^2 + x^2 - \frac{-15}{17} = (-2) \cdot x = 15$, pero esta no es una forma válida de calcular $\sin \alpha$ a partir de $\cos \alpha = \frac{-5}{13}$. La expresión es matemáticamente incorrecta y no se deduce lógicamente de los datos iniciales para obtener el valor correcto de $\sin \alpha$ utilizado posteriormente en el cálculo de $\cos(\alpha - \beta)$.

Pregunta 3: Según el material de estudio proporcionado, ¿en qué cuadrante se encuentran los ángulos $\alpha$ y $\beta$?

A. Ambos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se encuentran en el Primer Cuadrante.

B. El ángulo $\alpha$ se encuentra en el Segundo Cuadrante, y el ángulo $\beta$ se encuentra en el Primer Cuadrante.

C. Ambos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se encuentran en el Segundo Cuadrante.

D. El ángulo $\alpha$ se encuentra en el Tercer Cuadrante, y el ángulo $\beta$ se encuentra en el Segundo Cuadrante.

Explicación: El material de estudio establece explícitamente que $\alpha \in \Pi$ y $\beta \in \Pi$. En la notación trigonométrica común donde se usan numerales romanos para los cuadrantes, $\Pi$ (Pi) se refiere al Segundo Cuadrante. Por lo tanto, ambos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se encuentran en el Segundo Cuadrante.

Pregunta 4: Según el material de estudio, y utilizando los valores proporcionados para $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\sin \alpha$ y $\sin \beta$, ¿cuál es el resultado de la expresión $\cos(\alpha - \beta)$?

A. $$\frac{75}{221}$$

B. $$\frac{171}{221}$$

C. $$\frac{-21}{221}$$

D. $$\frac{12}{13} \cdot \frac{-8}{17}$$

Explicación: El material de estudio detalla el cálculo de $\cos(\alpha - \beta)$ como $\cos \alpha \cdot \cos \beta + \text{sen } \alpha \cdot \text{sen } \beta$. Sustituyendo los valores se obtiene: $(-\frac{5}{13}) \cdot (-\frac{15}{17}) + (\frac{12}{13}) \cdot (-\frac{8}{17}) = \frac{75}{221} + \frac{-96}{221} = \frac{-21}{221}$.

Pregunta 5: La distancia del punto C(3,-4) a la recta L: x + 2y - 8 = 0 es igual a |1 + 3 + 2 + 4 + 8| / sqrt(1^2 + 2^2).

A. Ano

B. Ne

Explicación: La fórmula correcta para la distancia de un punto (x0, y0) a una recta Ax + By + C = 0 es |A*x0 + B*y0 + C| / sqrt(A^2 + B^2). Para el punto C(3,-4) y la recta x + 2y - 8 = 0, el numerador debería ser |1*(3) + 2*(-4) - 8| = |3 - 8 - 8| = |-13|, no |1 + 3 + 2 + 4 + 8|.