Resumen de Problemas Resueltos de Matemáticas
Problemas Resueltos de Matemáticas: Ejercicios Paso a Paso
Introducción
Las progresiones son sucesiones ordenadas de números que siguen una regla fija entre términos consecutivos. En este material nos concentraremos en progresiones aritméticas (P.A.) y geométricas (P.G.), sus fórmulas principales, técnicas de suma y ejemplos aplicados a problemas típicos de nivel universitario.
Definición: Una progresión aritmética es una sucesión cuyos términos aumentan o disminuyen por una constante llamada diferencia común $d$. Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común $r$.
Progresión aritmética (P.A.)
Conceptos básicos
- Término general: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$
- Suma de los primeros $n$ términos: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$
- Alternativamente, usando $d$: $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$
Definición: En una P.A. $d$ es la diferencia común, calculada como $d = a_{k+1} - a_k$ para cualquier $k$.
Ejemplo práctico 1
Problema: El primer término es $a_1 = 4$ y el decimonoveno término es $a_{19} = 8$. Determinar $d$, $a_{10}$ y $a_{30}$.
Solución paso a paso: $$a_{19} = a_1 + (19-1)d = 4 + 18d$$ Igualando a $8$: $$4 + 18d = 8$$ Restar 4: $$18d = 4$$ $$d = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$$ Calcular $a_{10}$: $$a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9\cdot \frac{2}{9} = 4 + 2 = 6$$ Calcular $a_{30}$: $$a_{30} = a_1 + 29d = 4 + 29 \cdot \frac{2}{9} = 4 + \frac{58}{9} = \frac{94}{9}$$
Nota: en el material original hay errores numéricos; aquí se muestra el procedimiento correcto.
Aplicaciones reales
- Distribución uniforme de recursos con incremento constante por periodo.
- Series lineales en economía (incremento fijo de costos o ingresos por periodo).
Progresión geométrica (P.G.)
Conceptos básicos
- Término general: $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$
- Suma de los primeros $n$ términos (si $r\neq 1$): $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$
- Si la razón $|r|<1$, la suma infinita es: $$S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$$
Definición: En una P.G. $r$ es la razón común, calculada como $r = \frac{a_{k+1}}{a_k}$ para cualquier $k$.
Ejemplo práctico 2
Problema: Un sistema triplica su intensidad cada minuto ($r=3$) y en el minuto 4 la intensidad es $a_4 = 810$. Determinar $a_1$ y la fórmula general $a_n$.
Solución: $$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} = a_1 \cdot 3^3 = a_1 \cdot 27$$ Como $a_4 = 810$: $$a_1 = \frac{810}{27} = 30$$ Término general: $$a_n = 30 \cdot 3^{n-1}$$ Comprobación rápida: $a_2 = 90$, $a_3 = 270$, $a_4 = 810$.
Aplicaciones reales
- Crecimiento exponencial de señales, poblaciones o capital con interés compuesto.
- Decaimiento o amplificación en procesos físicos y electrónicos.
Técnicas de suma y telescopios
Suma de una expresión lineal en $k$
Ejemplo: Calcular $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1)$$ Método 1: Cambiar índice a $k'=k-8$, con $k'=1\dots 14$: $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{j=1}^{14} (3(j+8)+1) = \sum_{j=1}^{14} (3j+25)$$ Separar sumas: $$= 3\sum_{j=1}^{14} j + 25\sum_{j=1}^{14} 1 = 3\cdot \frac{14\cdot 15}{2} + 25\cdot 14 = 315 + 350 = 665$$ Método 2: Sumar hasta 22 y restar hasta 8: $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{k=1}^{22} (3k+1) - \sum_{k=1}^{8} (3k+1)$$ Usar fórmulas de sumatoria para llegar al mismo resultado.
Sumas telescópicas
Ejemplo: Calcular $$\sum_{n=4}^{20} \frac{4}{(2n-1)(2n+1)}$$ Descomposición en fracciones parciales: $$\frac{4}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$$ Resolviendo se obtiene $A=2$, $B=-2$, por lo que $$\frac{4}{(2n-1)(2n+1)} = 2\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$ La suma telescopa y queda como diferencia de pocos términos extremos; realizar la suma explícita siguiendo el patrón para obtener el resultado.
Definición: Una suma telescópica es aquella en la que muchas términos se cancelan entre sí tras descomponer la expresión, dejando solo unos pocos términos extremos.
Comparación P.A. vs P.G.
| Característica | Progresión Aritmética (P.A.) | Progresión Geométrica (P.G.) |
|---|---|---|
| Término general |
Zaregistruj se pro celé shrnutí¿Ya tienes cuenta? Iniciar sesión
Progresiones Esenciales
Klíčové pojmy: Término general P.A.: $a_n = a_1 + (n-1)d$, Suma P.A.: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$, Término general P.G.: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, Suma P.G.: $S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1}$ para $r\neq 1$, Encontrar $d$ usando $a_k = a_1 + (k-1)d$ y resolver la ecuación resultante, Encontrar $a_1$ en P.G. con $a_n$ y $r$: $a_1 = \frac{a_n}{r^{n-1}}$, Sumas telescópicas: descomponer en fracciones parciales para cancelar términos, Para sumatorias lineales usar separación: $\sum (ak+b)=a\sum k + bn$