Tarjetas de Problemas Resueltos de Matemáticas
Problemas Resueltos de Matemáticas: Ejercicios Paso a Paso
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Progresiones
20 tarjetas
Tarjeta 1
Pregunta: ¿Cómo se calcula el término general a_n de una progresión aritmética en función de a_1 y la diferencia d?
Respuesta: a_n = a_1 + (n-1)d
Tarjeta 2
Pregunta: Si a_{19}=8 en una progresión aritmética y d=1/3, ¿cómo se expresa la ecuación que relaciona a_1 y d para el término 19?
Respuesta: a_{19}=a_1+(19-1)d, por lo tanto a_1+18d=8
Tarjeta 3
Pregunta: En una progresión aritmética, ¿cómo se calcula la suma S_n de los primeros n términos usando a_1 y a_n?
Respuesta: S_n = (n/2)(a_1 + a_n)
Tarjeta 4
Pregunta: Dado d=1/3 y sabiendo que a_{10}=5, ¿cómo se obtiene a_{10} a partir de a_1?
Respuesta: a_{10}=a_1+(10-1)d = a_1+9(1/3)=a_1+3. Si a_{10}=5 entonces a_1=2
Tarjeta 5
Pregunta: ¿Cuál es el término a_{30} para una progresión aritmética con a_1=2 y d=1/3?
Respuesta: a_{30}=a_1+(30-1)d = 2 + 29(1/3) = 35/3
Tarjeta 6
Pregunta: Describe dos formas para evaluar la suma sigma _{k=9}^{22}(3k+1)
Respuesta: Forma 1: reindexar a k=1..14: _{k=1}^{14}(3k+25)=3_{k=1}^{14}k+14·25. Forma 2: diferencia de sumas: _{k=1}^{22}(3k+1)-_{k=1}^{8}(3k+1). Ambas dan
Tarjeta 7
Pregunta: ¿Cuál es el resultado numérico de _{k=9}^{22}(3k+1)?
Respuesta: 665
Tarjeta 8
Pregunta: Qué técnica se usa para evaluar la suma _{n=4}^{20} 4/[(2n-1)(2n+1)] y cuál es la descomposición en fracciones parciales?
Respuesta: Se usa telescopado. 4/[(2n-1)(2n+1)] = 2/(2n-1) - 2/(2n+1)
Tarjeta 9
Pregunta: Al aplicar el telescopado a _{n=4}^{20} (2/(2n-1) - 2/(2n+1)), ¿qué observa sobre la suma parcial?
Respuesta: Los términos se cancelan en cadena dejando sólo las fronteras; se evalúa restando las sumas iniciales que se omitieron (n=1..3) de la suma completa n=
Tarjeta 10
Pregunta: En una progresión geométrica, ¿cuál es la fórmula del término general a_n en función de a_1 y la razón r?
Respuesta: a_n = a_1 · r^{n-1}