Resumen de Problemas de Probabilidad y Estadística

## Introducción La probabilidad estudia la posibilidad de que ocurra un suceso cuando existe incertidumbre. Es una herramienta fundamental en la vida diaria y en ciencias para modelar decisiones y riesgos. > Definición: La probabilidad de un suceso A, denotada $P(A)$, es un número entre 0 y 1 que mide cuán probable es que A ocurra. ## Conceptos básicos ### Espacio muestral y sucesos - **Espacio muestral**: conjunto de todos los resultados posibles, denotado $\Omega$. - **Suceso**: cualquier subconjunto de $\Omega$. > Definición: Si $\Omega$ tiene $n$ resultados equiprobables y un suceso A tiene $k$ resultados favorables, entonces $P(A)=\frac{k}{n}$. ### Probabilidades complementarias - Complemento de A: $\overline{A}=\Omega\setminus A$. - Relación: $$P(\overline{A})=1-P(A)$$ ### Sucesos independientes y dependientes - **Independencia**: A y B son independientes si $$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$ - Si no se cumple, son dependientes (la ocurrencia de uno afecta al otro). > Definición: Probabilidad condicional: $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad\text{si }P(B)>0.$$ ### Regla de la suma y la unión - Para dos sucesos cualesquiera: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ ## Técnicas de conteo y probabilidad clásica ### Regla del producto (tiradas independientes) - Si dos experimentos son independientes, la probabilidad conjunta es el producto de probabilidades. - Ejemplo: lanzar un dado dos veces; la probabilidad de obtener impar en ambas es $$P(\text{impar en ambas})=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{4}.$$ ### Muestreo con y sin reemplazo - Con reemplazo: cada extracción tiene la misma distribución (independientes). - Sin reemplazo: las probabilidades cambian (dependientes). Ejemplo: sacar dos bolillas sin reposición. ## Tablas comparativas | Concepto | Con reemplazo | Sin reemplazo | |---|---:|---:| | Independencia | Sí | No (en general) | | Cálculo | Producto de probabilidades fijas | Producto con probabilidades condicionales | ## Ejemplos prácticos (resueltos brevemente) 1) Dados: lanzar un dado dos veces (espacio $6\times6=36$ resultados). - a) Impar en ambas: números impares $1,3,5$; $$P=\left(\frac{3}{6}\right)^2=\frac{1}{4}.$$ - b) Menor que 5 en ambas: valores $1,2,3,4$ (4 de 6), $$P=\left(\frac{4}{6}\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$ - c) Salga 3 en ambas: $$P=\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{36}.$$ - d) Primero impar y segundo par: $$P=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{4}.$$ - e) Un par y un impar (cualquier orden): hay dos órdenes, por lo que $$P=2\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}?\text{ (corrige: }2\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}).$$ - f) Suma 6: pares ordenados que suman 6: $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ cinco casos de 36, $$P=\frac{5}{36}.$$ - g) Suma 4: $(1,3),(2,2),(3,1)$ tres casos, $$P=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$ Fun fact: En procesos con muchas repeticiones independientes, la Ley de los Grandes Números garantiza que la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad verdadera. 2) Bolillas sin reposición (seis bolillas numeradas 1 a 6, extraer dos sin reposición). Aquí el espacio tiene $6\times5=30$ resultados ordenados. Las probabilidades para cada caso de la pregunta anterior se calculan usando conteo sin reemplazo; por ejemplo, probabilidad de impar en ambas: hay 3 impares, combinaciones ordenadas $3\cdot2=6$, luego $$P=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}.$$ 3) Tabla de frecuencias y probabilidades (ejemplos de empresa de choferes): sumar frecuencias y dividir para obtener probabilidades. - Si se elige un chofer al azar, la probabilidad de un evento es su frecuencia dividida por el total. 4) Probabilidades condicionales y teorema de Bayes (test médico): - Dado: prevalencia $P(E)=0.18$, sensibilidad $P(+\mid E)=0.92$, especificidad $P(-\mid \overline{E})=0.85$. - Para hallar $P(E\mid +)$ usamos el teorema de Bayes: $$P(E\mid +)=\frac{P(+\mid E)P(E)}{P(+\mid E)P(E)+P(+\mid\overline{E})P(\overline{E})}$$ do