Problemas de Probabilidad y Estadística

¡Hola, futuros expertos en datos! ¿Estás buscando dominar los problemas de probabilidad y estadística? Has llegado al lugar indicado. Esta guía completa está diseñada para estudiantes de secundaria y universidad que necesitan entender y aplicar conceptos clave de la probabilidad y la estadística. Analizaremos una variedad de escenarios prácticos, desde el lanzamiento de dados hasta el análisis de datos empresariales, proporcionándote una base sólida para resolver cualquier desafío.

Explorando los Problemas de Probabilidad y Estadística: Ejemplos Prácticos

Los problemas de probabilidad y estadística son fundamentales para entender el mundo que nos rodea, desde predicciones climáticas hasta análisis de riesgos en negocios. A continuación, desglosaremos ejemplos comunes para que comprendas cómo aplicar las fórmulas y razonamientos adecuados.

Probabilidad con Dados y Bolillas: Fundamentos

Comenzamos con ejercicios clásicos para establecer las bases. La probabilidad de un evento simple se calcula como el número de casos favorables dividido por el número total de casos posibles.

Escenario 1: Lanzamiento de un dado dos veces (con reposición)

Consideremos un dado estándar de seis caras. Cuando lo lanzamos dos veces, cada tirada es independiente. El espacio muestral total es 6 * 6 = 36 posibles resultados.

• a) Salga un número impar en las dos tiradas: Los números impares son {1, 3, 5}. La probabilidad de un impar en una tirada es 3/6 = 1/2. Para dos tiradas: (1/2) * (1/2) = 1/4.
• b) Salga un número menor de 5 en las dos tiradas: Los números menores de 5 son {1, 2, 3, 4}. La probabilidad en una tirada es 4/6 = 2/3. Para dos tiradas: (2/3) * (2/3) = 4/9.
• c) Salga el número 3 en las dos tiradas: La probabilidad de obtener 3 en una tirada es 1/6. Para dos tiradas: (1/6) * (1/6) = 1/36.
• d) Salga en la primera un número impar y en la segunda un número par: Probabilidad de impar (1/2) * Probabilidad de par (1/2) = 1/4.
• e) Salga un número par y un número impar (sin importar el orden): Esto puede ser (Impar y Par) o (Par e Impar). La probabilidad de cada secuencia es 1/4. Sumando ambas: 1/4 + 1/4 = 1/2.
• f) La suma de los dos números sea 6: Los pares que suman 6 son: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Hay 5 casos favorables. La probabilidad es 5/36.
• g) La suma de los dos números sea 4: Los pares que suman 4 son: (1,3), (2,2), (3,1). Hay 3 casos favorables. La probabilidad es 3/36 = 1/12.

Escenario 2: Bolillas numeradas (sin reposición)

Si tenemos seis bolillas numeradas del 1 al 6 y sacamos dos sin reposición, el espacio muestral cambia. La primera extracción tiene 6 opciones, la segunda 5. El total de resultados posibles es 6 * 5 = 30.

• a) Salga un número impar en las dos extracciones: Hay 3 números impares {1, 3, 5}. P(1ra impar) = 3/6. P(2da impar | 1ra impar) = 2/5. Total: (3/6) * (2/5) = 6/30 = 1/5.
• b) Salga un número menor de 5 en las dos extracciones: Hay 4 números menores de 5 {1, 2, 3, 4}. P(1ra menor de 5) = 4/6. P(2da menor de 5 | 1ra menor de 5) = 3/5. Total: (4/6) * (3/5) = 12/30 = 2/5.
• c) Salga el número 3 en las dos extracciones: Esto es imposible, ya que solo hay un 3 y no hay reposición. La probabilidad es 0.
• d) Salga en la primera un número impar y en la segunda un número par: P(1ra impar) = 3/6. P(2da par | 1ra impar) = 3/5 (quedan 3 pares y 5 bolillas). Total: (3/6) * (3/5) = 9/30 = 3/10.
• e) Salga un número par y un número impar (sin importar el orden): (Impar y Par) o (Par e Impar). P(Impar y Par) = 9/30. P(Par y Impar) = (3/6) * (3/5) = 9/30. Total: 9/30 + 9/30 = 18/30 = 3/5.
• f) La suma de los dos números sea 6: Los pares son: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1). (3,3) no es posible sin reposición. Hay 4 casos. La probabilidad es 4/30 = 2/15.
• g) La suma de los dos números sea 4: Los pares son: (1,3), (3,1). (2,2) no es posible sin reposición. Hay 2 casos. La probabilidad es 2/30 = 1/15.

Análisis de Datos Categóricos: Multas, Talles y Personal

Los problemas de probabilidad y estadística a menudo involucran el análisis de datos categóricos para entender patrones en poblaciones o muestras.

Caso 1: Multas de tránsito en una empresa de fletes

Una empresa tiene el siguiente registro de multas:

A) Elección de un chofer al azar:

• a) Probabilidad de hasta 2 multas: 41/152.
• b) Probabilidad de entre 3 y 8 multas: (68 + 32)/152 = 100/152.
• c) Probabilidad de 9 o más multas: 11/152.

B) Elección de dos choferes al azar (sin reposición):

• a) Uno haya recibido más de 5 multas y otro hasta 5:
• Más de 5 multas (6-8 o 9+): 32 + 11 = 43 choferes.
• Hasta 5 multas (hasta 2 o 3-5): 41 + 68 = 109 choferes.
• P(uno >5 y otro <=5) = P(1º >5 y 2º <=5) + P(1º <=5 y 2º >5)
• = (43/152 * 109/151) + (109/152 * 43/151) = 2 * (43 * 109) / (152 * 151) = 9364 / 22952 ≈ 0.408.
• b) Cada uno haya recibido hasta 2 multas: P(1º hasta 2) * P(2º hasta 2 | 1º hasta 2) = (41/152) * (40/151) ≈ 0.071.
• c) Uno haya recibido hasta 2 multas y el otro más de 9:
• P(1º hasta 2 y 2º >9) + P(1º >9 y 2º hasta 2)
• = (41/152 * 11/151) + (11/152 * 41/151) = 2 * (41 * 11) / (152 * 151) = 902 / 22952 ≈ 0.039.

Caso 2: Pedido de camisas y talles

Hay un total de 24(S) + 17(M) + 36(L) + 19(XL) = 96 camisas. Se extraen dos al azar sin reposición.

• a) Se lleve lo que le pidieron (una M y una XL):
• P(1ra M y 2da XL) + P(1ra XL y 2da M)
• = (17/96 * 19/95) + (19/96 * 17/95) = 2 * (17 * 19) / (96 * 95) = 646 / 9120 ≈ 0.0708.
• b) Se lleve dos del mismo talle:
• P(dos S) + P(dos M) + P(dos L) + P(dos XL)
• = (24/96 * 23/95) + (17/96 * 16/95) + (36/96 * 35/95) + (19/96 * 18/95)
• = (552 + 272 + 1260 + 342) / 9120 = 2426 / 9120 ≈ 0.266.
• c) No se lleve ninguna de las que le pidieron (ni M ni XL):
• Esto significa que se lleva dos camisas de talles S o L. Total de S+L = 24 + 36 = 60.
• P(1ra S o L) * P(2da S o L | 1ra S o L) = (60/96) * (59/95) = 3540 / 9120 ≈ 0.388.

Caso 3: Dotación de personal y estudios

Total de empleados:

A) Elección de un empleado al azar:

• a) Probabilidad de pertenecer al área de programación: 68/219.
• b) Probabilidad de tener estudios universitarios completos: 83/219.
• c) Probabilidad de haber seguido estudiando al terminar la secundaria: Esto incluye Universitario Incompleto y Título Universitario. (46 + 83)/219 = 129/219.

B) Si el empleado seleccionado tiene estudios universitarios completos (probabilidad condicional):

• a) Probabilidad de que sea del área de ventas: Hay 25 con título universitario en Ventas de un total de 83 con título universitario. P(Ventas | Título Univ.) = 25/83.
• b) Probabilidad de que no sea del área de programación: Del total de 83 con título universitario, 29 son de Programación. Los que no son de Programación son 83 - 29 = 54. P(No Programación | Título Univ.) = 54/83.

Conceptos Avanzados en Probabilidad: Sucesos Independientes y Teorema de Bayes

Los problemas de probabilidad y estadística más complejos a menudo requieren entender la independencia de sucesos y el uso de la probabilidad condicional.

Probabilidad con Intersecciones y Uniones

Problema 203: Habilidades de los empleados

P(Inglés) = 0.41, P(Computación) = 0.54, P(Inglés ∩ Computación) = 0.33.

• a) No hable inglés ni sepa computación (P(¯Inglés ∩ ¯Computación)):
• P(Inglés ∪ Computación) = P(Inglés) + P(Computación) - P(Inglés ∩ Computación)
• = 0.41 + 0.54 - 0.33 = 0.62.
• P(¯Inglés ∩ ¯Computación) = 1 - P(Inglés ∪ Computación) = 1 - 0.62 = 0.38.
• b) Sepa computación pero no hable inglés (P(¯Inglés ∩ Computación)):
• P(Computación) - P(Inglés ∩ Computación) = 0.54 - 0.33 = 0.21.
• c) Reúna al menos una de las dos condiciones (P(Inglés ∪ Computación)): 0.62.

Problema 204: Horas extras y género

• P(Horas Extras | Mujer) = 0.76
• P(Horas Extras | Hombre) = 0.48
• P(Mujer) = 0.24, P(Hombre) = 1 - 0.24 = 0.76

Calculamos P(Horas Extras) = P(HE | M)P(M) + P(HE | H)P(H) = (0.76 * 0.24) + (0.48 * 0.76) = 0.1824 + 0.3648 = 0.5472.

• a) Si cobró horas extras, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre (P(Hombre | Horas Extras))?
• Usando el Teorema de Bayes: P(Hombre | HE) = P(HE | Hombre) * P(Hombre) / P(HE)
• = (0.48 * 0.76) / 0.5472 = 0.3648 / 0.5472 ≈ 0.6666.
• b) Si se elige un empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya cobrado horas extras (P(¯Horas Extras))?
• 1 - P(Horas Extras) = 1 - 0.5472 = 0.4528.
• c) Si se elige una empleada al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya cobrado horas extras (P(Horas Extras | Mujer))?
• Esto ya nos lo dan: 0.76.

Problema 205: Alumnos y examen de ingreso

Total: 160 alumnos.

• 80 de escuela técnica (ET). De ellos, 70 aprobaron (A).
• Restantes = 160 - 80 = 80 (No ET). De ellos, 60% aprobaron = 0.60 * 80 = 48 aprobaron.

Tabla de frecuencias:

• a) Probabilidad de que haya aprobado el examen (P(A)): 118/160 = 59/80.
• b) Si proviene de una escuela técnica, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido aplazado (P(¯A | ET))? 10/80 = 1/8.
• c) Si aprobó el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a una escuela técnica (P(¯ET | A))? 48/118 = 24/59.
• d) ¿Los sucesos “proviene de una escuela técnica” y “aprobó el examen” son independientes?
• Dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) * P(B) o P(A | B) = P(A).
• P(ET) = 80/160 = 0.5.
• P(A) = 118/160 = 0.7375.
• P(ET ∩ A) = 70/160 = 0.4375.
• P(ET) * P(A) = 0.5 * 0.7375 = 0.36875.
• Como P(ET ∩ A) ≠ P(ET) * P(A) (0.4375 ≠ 0.36875), los sucesos no son independientes.

Problemas de Álgebra de Sucesos

Problema 213: Sucesos A y B

P(A) = 0.32, P(¯A ∩ B) = 0.38, P(A ∩ B) = 0.15.

Sabemos que P(B) = P(¯A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0.38 + 0.15 = 0.53.

• a) P(A ∪ ¯B):
• P(A ∪ ¯B) = P(A) + P(¯B) - P(A ∩ ¯B).
• P(¯B) = 1 - P(B) = 1 - 0.53 = 0.47.
• P(A ∩ ¯B) = P(A) - P(A ∩ B) = 0.32 - 0.15 = 0.17.
• P(A ∪ ¯B) = 0.32 + 0.47 - 0.17 = 0.62.
• b) P(¯A ∩ ¯B):
• P(¯A ∩ ¯B) = 1 - P(A ∪ B).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.32 + 0.53 - 0.15 = 0.70.
• P(¯A ∩ ¯B) = 1 - 0.70 = 0.30.

Problema 214: Independencia de sucesos

P(¯A) = 0.8 => P(A) = 0.2.

P(B) = 0.7.

P(¯A ∪ ¯B) = 0.86 => P(A ∩ B) = 1 - P(¯A ∪ ¯B) = 1 - 0.86 = 0.14.

• a) ¿Son independientes A y B?
• Comprobamos si P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
• P(A) * P(B) = 0.2 * 0.7 = 0.14.
• Como P(A ∩ B) = 0.14 y P(A) * P(B) = 0.14, A y B son independientes.
• b) Calcular P(¯A / B):
• P(¯A / B) = P(¯A ∩ B) / P(B).
• Como A y B son independientes, ¯A y B también lo son. Por lo tanto, P(¯A ∩ B) = P(¯A) * P(B).
• P(¯A / B) = P(¯A) * P(B) / P(B) = P(¯A) = 0.8.
• También se puede calcular: P(¯A ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B) = 0.7 - 0.14 = 0.56.
• P(¯A / B) = 0.56 / 0.7 = 0.8.

Problemas de Probabilidad Condicional y Teorema de la Probabilidad Total

Problema 215: Viaje organizado

Total: 160 personas.

• Inglés (I): 88

• Francés (F): 76

• Inglés y Francés (I ∩ F): 52

• P(I) = 88/160 = 0.55

• P(F) = 76/160 = 0.475

• P(I ∩ F) = 52/160 = 0.325

• P(I ∪ F) = P(I) + P(F) - P(I ∩ F) = 0.55 + 0.475 - 0.325 = 0.7

• P(¯I ∩ ¯F) = 1 - P(I ∪ F) = 1 - 0.7 = 0.3 (personas que no hablan ni inglés ni francés).

• a) Probabilidad de que, al escoger dos viajeros al azar, ninguno de ellos hable francés (sin reposición):

• Personas que no hablan francés: 160 - 76 = 84.

• P(1º no F y 2º no F) = (84/160) * (83/159) ≈ 0.274.

• b) Probabilidad de que un viajero escogido al azar hable francés, sabiendo que habla inglés (P(F | I)):

• P(F | I) = P(F ∩ I) / P(I) = (52/160) / (88/160) = 52/88 = 13/22 ≈ 0.5909.

• c) Probabilidad de que dos viajeros elegidos al azar no hablen inglés ni francés (sin reposición):

• Personas que no hablan ni inglés ni francés: 160 * 0.3 = 48.

• P(1º no I ni F y 2º no I ni F) = (48/160) * (47/159) ≈ 0.0886.

Problema 216: Cálculos con probabilidades

P(A ∩ B) = 0.31, P(¯B) = 0.45 => P(B) = 1 - 0.45 = 0.55.

P(A ∩ ¯B) = 0.33.

• Calcular P(A ∪ B):
• P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ ¯B) = 0.31 + 0.33 = 0.64.
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.64 + 0.55 - 0.31 = 0.88.
• Calcular P(¯A):
• P(¯A) = 1 - P(A) = 1 - 0.64 = 0.36.

Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Problema 217: Traslado de bolas entre bolsas

Bolsa A: 5B, 8R (Total 13) Bolsa B: 9B, 7R (Total 16)

Se saca una bola de A y se pasa a B. Luego se extrae una de B.

Definimos sucesos:

• BA: Bola blanca de A

• RA: Bola roja de A

• BB: Bola blanca de B

• RB: Bola roja de B

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?

• P(BB) = P(BB | BA)P(BA) + P(BB | RA)P(RA)

• P(BA) = 5/13

• P(RA) = 8/13

• Si BA, Bolsa B tiene (9+1)B, 7R (Total 17) => P(BB | BA) = 10/17.

• Si RA, Bolsa B tiene 9B, (7+1)R (Total 17) => P(BB | RA) = 9/17.

• P(BB) = (10/17)(5/13) + (9/17)(8/13) = (50 + 72) / (17*13) = 122/221 ≈ 0.552.

• b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea roja?

• P(RB) = 1 - P(BB) = 1 - 122/221 = 99/221 ≈ 0.448.

• O: P(RB) = P(RB | BA)P(BA) + P(RB | RA)P(RA)

• P(RB | BA) = 7/17

• P(RB | RA) = 8/17

• P(RB) = (7/17)(5/13) + (8/17)(8/13) = (35 + 64) / (17*13) = 99/221.

Problema 218: Elección de bolsa con dado

Bolsa A: 8R, 10V (Total 18) Bolsa B: 11R, 9V (Total 20)

Dado: 1 o 2 => Bolsa A (P(A) = 2/6 = 1/3) Cualquier otro número (3, 4, 5, 6) => Bolsa B (P(B) = 4/6 = 2/3)

• a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja (P(Roja))?
• P(Roja) = P(Roja | A)P(A) + P(Roja | B)P(B)
• P(Roja | A) = 8/18 = 4/9
• P(Roja | B) = 11/20
• P(Roja) = (4/9)(1/3) + (11/20)(2/3) = 4/27 + 22/60 = 4/27 + 11/30 = (40 + 99) / 270 = 139/270 ≈ 0.5148.
• b) Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A (P(A | Roja))?
• P(A | Roja) = P(Roja | A)P(A) / P(Roja) = ( (4/9)*(1/3) ) / (139/270)
• = (4/27) / (139/270) = (4/27) * (270/139) = 40/139 ≈ 0.2878.

Problema 219: Elección de urna al azar

Caja 1: 7R, 7B, 8N (Total 22) Caja 2: 8R, 7B, 4N (Total 19)

Se elige una urna al azar (P(C1) = P(C2) = 1/2) y se extrae una bola.

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja (P(Roja))?
• P(Roja) = P(Roja | C1)P(C1) + P(Roja | C2)P(C2)
• P(Roja | C1) = 7/22
• P(Roja | C2) = 8/19
• P(Roja) = (7/22)(1/2) + (8/19)(1/2) = (7/44) + (8/38) = (7/44) + (4/19) = (133 + 176) / 836 = 309/836 ≈ 0.3696.
• b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera caja (P(C1 | Blanca))?
• P(Blanca | C1) = 7/22
• P(Blanca | C2) = 7/19
• P(Blanca) = P(Blanca | C1)P(C1) + P(Blanca | C2)P(C2)
• P(Blanca) = (7/22)(1/2) + (7/19)(1/2) = 7/44 + 7/38 = 7/44 + 7/38 = (133 + 154) / 836 = 287/836.
• P(C1 | Blanca) = P(Blanca | C1)P(C1) / P(Blanca)
• = ( (7/22)*(1/2) ) / (287/836) = (7/44) / (287/836) = (7/44) * (836/287) = 14/41 ≈ 0.3414.

Problema 220: Sistemas de alarma independientes

P(A se activa | Inconveniente) = 0.94 P(B se activa | Inconveniente) = 0.97

Los sistemas son independientes. Queremos la probabilidad de que se accione uno solo de los sistemas.

Esto es (A se activa y B no se activa) o (A no se activa y B se activa).

• P(¯A se activa | Inconveniente) = 1 - 0.94 = 0.06
• P(¯B se activa | Inconveniente) = 1 - 0.97 = 0.03

P(Uno solo) = P(A y ¯B) + P(¯A y B) = P(A)P(¯B) + P(¯A)P(B) (por independencia) = (0.94 * 0.03) + (0.06 * 0.97) = 0.0282 + 0.0582 = 0.0864.

Problema 221: Sucesos con independencia

P(A / B) = 0.75, P(¯A ∪ B) = 0.58, P(A ∪ ¯B) = 0.9.

De P(A / B) = 0.75, sabemos P(A ∩ B) / P(B) = 0.75. De P(¯A ∪ B) = 0.58, sabemos P(¯A ∪ B) = P(¯A) + P(B) - P(¯A ∩ B) = 1 - P(A) + P(B) - (P(B) - P(A ∩ B)) = 1 - P(A) + P(A ∩ B) = 0.58. De P(A ∪ ¯B) = 0.9, sabemos P(A ∪ ¯B) = P(A) + P(¯B) - P(A ∩ ¯B) = P(A) + (1 - P(B)) - (P(A) - P(A ∩ B)) = 1 - P(B) + P(A ∩ B) = 0.9.

De las últimas dos ecuaciones: 1 - P(A) + P(A ∩ B) = 0.58 1 - P(B) + P(A ∩ B) = 0.9

Restando la primera de la segunda: P(A) - P(B) = 0.32.

Tenemos un sistema:

1. P(A ∩ B) = 0.75 * P(B)
2. P(A) = P(B) + 0.32
3. P(A ∩ B) = P(A) - 0.42 (de la primera eq. de ¯A ∪ B)
4. P(A ∩ B) = P(B) - 0.1 (de la segunda eq. de A ∪ ¯B)

De (1) y (4): 0.75 * P(B) = P(B) - 0.1 => 0.25 * P(B) = 0.1 => P(B) = 0.4.

Ahora, P(A ∩ B) = 0.75 * 0.4 = 0.3. P(A) = P(B) + 0.32 = 0.4 + 0.32 = 0.72.

• a) Indicar si A y B son sucesos independientes, justificando la respuesta:
• P(A) * P(B) = 0.72 * 0.4 = 0.288.
• P(A ∩ B) = 0.3.
• Como P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (0.3 ≠ 0.288), los sucesos no son independientes.
• b) Calcular P(A ∪ B):
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.72 + 0.4 - 0.3 = 0.82.
• c) Calcular P(B / A):
• P(B / A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.3 / 0.72 = 30/72 = 5/12 ≈ 0.4167.

Problema 222: Relación con pantallas y comprensión lectora

Definiciones:

• M: Pasa frente a la pantalla más de 3 horas diarias (0.56)
• ¯M: Pasa frente a la pantalla menos de 3 horas diarias (1 - 0.56 = 0.44)
• S: Calificación satisfactoria
• ¯S: No aprobó la prueba de comprensión

Datos:

• P(M) = 0.56

• P(S | M) = 0.68 => P(¯S | M) = 1 - 0.68 = 0.32

• P(¯S) = 0.41 => P(S) = 1 - 0.41 = 0.59

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que pase frente a la pantalla más de tres horas diarias y no haya aprobado (P(M ∩ ¯S))?

• P(M ∩ ¯S) = P(¯S | M) * P(M) = 0.32 * 0.56 = 0.1792.

• b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado (P(S))?

• Esto ya nos lo dan implícitamente: P(S) = 1 - P(¯S) = 1 - 0.41 = 0.59.

• c) Si no aprobó, ¿cuál es la probabilidad de que pase más de tres horas frente a la pantalla (P(M | ¯S))?

• P(M | ¯S) = P(M ∩ ¯S) / P(¯S) = 0.1792 / 0.41 ≈ 0.4371.

Combinatoria y Probabilidad para Múltiples Selecciones

Problema 223: Niños y deportes

Total: 150 niños.

• Fútbol (F): 64
• Básquet (B): 31
• Natación (N): 28
• Ninguno (Ningún D): 150 - (64+31+28) = 150 - 123 = 27 (Suponiendo que no hay intersecciones entre los deportes, si no, se necesitaría más información para calcular el número de niños que no practican ninguno de los mencionados, o los que practican al menos uno). Para simplificar, asumiremos que los grupos son disjuntos para los niños que practican exactamente uno de los deportes. Si no, se requiere una tabla de contingencia o más datos sobre las intersecciones.

Se toman dos niños al azar (sin reposición). Total de casos posibles para elegir 2 niños de 150 es C(150, 2) = (150 * 149) / 2 = 11175.

• a) Al menos uno de ellos haga fútbol:
• 1 - P(Ninguno haga fútbol).
• Niños que no hacen fútbol: 150 - 64 = 86.
• P(Ninguno haga fútbol) = C(86, 2) / C(150, 2) = (8685/2) / (150149/2) = (8685) / (150149) = 7310 / 22350 ≈ 0.327.
• P(Al menos uno haga fútbol) = 1 - 0.327 = 0.673.
• b) Ninguno de los dos practique alguno de los deportes mencionados:
• Hay 27 niños que no practican ningún deporte.
• P(2 sin deporte) = C(27, 2) / C(150, 2) = (2726/2) / (150149/2) = (2726) / (150149) = 702 / 22350 ≈ 0.0314.
• c) Uno haga básquet y el otro, fútbol:
• P = (C(31, 1) * C(64, 1)) / C(150, 2) = (31 * 64) / 11175 = 1984 / 11175 ≈ 0.1775.
• d) A lo sumo uno practique alguno de los deportes mencionados: